[論文レビュー] Scaling of a random walk on a supercritical contact process

Frank den Hollander, Renato dos Santos|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、平衡状態に置かれた上昇的接触過程によって駆動される動的確率環境において、1次元の無作為歩行について強い大数の法則、関数中央極限定理、および大偏差原理を確立する。空間時空の感染クラスタのコーンに基づくカップリングの議論を用いて、歩行のドリフトが感染フロントの速度よりも遅い場合には、歩行が最終的に1つのコーン内に閉じ込められることを示し、再生時刻の構成を可能にする。これにより、スケーリング極限の導出が可能になる。

ABSTRACT

A proof is provided of a strong law of large numbers for a one-dimensional random walk in a dynamic random environment given by a supercritical contact process in equilibrium. The proof is based on a coupling argument that traces the space-time cones containing the infection clusters generated by single infections and uses that the random walk eventually gets trapped inside the union of these cones. For the case where the local drifts of the random walk are smaller than the speed at which infection clusters grow, the random walk eventually gets trapped inside a single cone. This in turn leads to the existence of regeneration times at which the random walk forgets its past. The latter are used to prove a functional central limit theorem and a large deviation principle. The qualitative dependence of the speed, the volatility and the rate function on the infection parameter is investigated, and some open problems are mentioned.

研究の動機と目的

• 平衡状態に置かれた上昇的接触過程によって生成される動的確率環境における無作為歩行の強い大数の法則（SLLN）を確立すること。
• 同じプロセスの関数中央極限定理（FCLT）および大偏差原理（LDP）を導出すること。
• 接触過程の感染パラメータに従う歩行の速度とボラティリティの定性的な依存関係を分析すること。
• 空間時空の感染クラスタのコーン内への閉じ込めを活用して、歩行の軌道における再生時刻を同定すること。

提案手法

• 異なる初期状態からの接触過程のすべての実現をカップリングするための図式的表現の使用。
• 初期状態が完全に感染している場合のSLLNの証明に、部分加法性の議論を適用すること。
• 単一の感染から生成される感染クラスタを含む空間時空のコーンの構築により、無作為歩行が最終的にそれらの和集合内に閉じ込められることを示すこと。
• 歩行の局所的ドリフトが感染フロント速度未満の場合、歩行が1つのコーン内に閉じ込められることを示し、再生時刻の構成を可能にすること。
• 再生時刻を用いて、マルコフ再生理論と図式的表現における関数の収束を用いてFCLTおよびLDPを証明すること。
• 図式的表現のほとんど確実な最終的定数性を活用し、有界な空間時空ボックス内での主要関数（例えば到達時刻、退出時刻）の収束を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上昇的接触過程環境における無作為歩行が強い大数の法則を満たす条件は何か？
• RQ2 コーン混合性の性質が欠如する状況において、スケーリング極限（関数中央極限定理および大偏差原理）はどのようにして出現するか？
• RQ3 歩行の速度とボラティリティは、接触過程の感染パラメータにどのように定性的に依存するか？
• RQ4 接触過程のようなコーン混合性のない環境においても、再生時刻を構成できるか？
• RQ5 図式的表現によるカップリングは、動的確率環境における長時間挙動の分析をどのように可能にするか？

主な発見

• 無作為歩行はほとんど確実に強い大数の法則を満たし、その速度は環境のダイナミクスによって決定される。
• 歩行のドリフトが感染フロント速度未満の場合、最終的に1つの空間時空コーン内に閉じ込められ、再生時刻の構成が可能になる。
• 再生時刻の存在により、歩行の関数中央極限定理および大偏差原理の証明が可能になる。
• 歩行の速度とFCLTにおけるボラティリティは、接触過程の感染パラメータに非自明な定性的依存関係を示す。
• 主要関数（例えば到達時刻、退出時刻）の収束は、図式的表現と有界な空間時空ボックスの分析を用いて確立される。
• 再生時刻パラメータκ^nのn→∞における極限が存在し、κ^*に等しいことが保証され、再生サイクル数の分布収束が保証される。