[論文レビュー] Scaling of sub-ballistic 1D Random Walks among biased Random Conductances

Quentin Berger, Michele Salvi|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、偏りのある i.i.d. 確率的伝導度を持つ一次元の非力学的ランダムウォークを研究し、$\alpha \in [0,1]$ であるスケーリング指数を同定し、$\log X_n / \log n \to \alpha$ がほとんど確実に成り立つことを示している。2つのモデルを区別する：指数的チルトによる伝導度の変更（BiRC）では、$\alpha$ は偏りの強さに依存せず、Mott の可変範囲ホッピングにインspiredされた距離に依存する偏り（R1M）では、$\alpha$ は偏りの強度に依存する。主な貢献は、両モデルにおける非力学的スケーリング挙動の明確な特徴付けである。

ABSTRACT

We consider two models of one-dimensional random walks among biased i.i.d. random conductances: the first is the classical exponential tilt of the conductances, while the second comes from the effect of adding an external field to a random walk on a point process (the bias depending on the distance between points). We study the case when the walk is transient to the right but sub-ballistic, and identify the correct scaling of the random walk: we find $\\alpha \\in[0,1]$ such that $\\log X_n / \\log n \ o \\alpha$. Interestingly, $\\alpha$ does not depend on the intensity of the bias in the first case, but it does in the second case.

研究の動機と目的

• 偏りのある i.i.d. 確率的伝導度の下で、走破的だが非力学的（速度ゼロ）な一次元ランダムウォークのスケーリング挙動を解析すること。
• $X_n$ が $n^{\alpha + o(1)}$ のように成長するような正しいスケーリング指数 $\alpha \in [0,1]$ を特定すること。
• 2つの異なる偏りのモデルを比較すること：伝導度の指数的チルト（BiRC）と Mott の可変範囲ホッピングにインスパイアされた距離に依存する偏り（R1M）。
• 各モデルにおけるスケーリング指数 $\alpha$ が偏りの強さにどのように依存するかを特定すること。
• 大偏差およびモーメント推定を用いて、両モデルにおいて $\log X_n / \log n \to \alpha$ がほとんど確実に成り立つことを確立すること。

提案手法

• ランダムウォークを $\mathbb{Z}$ 上の近接隣接プロセスとしてモデル化し、i.i.d. な伝導度 $c_i$ と偏りパラメータ $\delta > 0$ を用いて、$\omega_i = c_i / (c_{i-1} + c_i)$ から遷移確率を導出する。
• 2つの異なる偏り機構を分析する：(1) 伝導度の指数的チルト $c_k \mapsto c_k e^{2k\delta}$（BiRC）、および (2) 簡略化された Mott ワークモデルにおける距離に依存する偏り（R1M）。
• Zeitouni (2004) の基準を適用して走破性とゼロ速度を確立し、$\rho_i = c_{i-1}/c_i$ を用いて $\mathbb{E}[\log \rho_0] < 0$ に依存する。
• 大偏差推定とモーメントバウンドを用いて、$T_n = \sum_{k=1}^n \tau_k$ のような主要な加法的関数の尾挙動を分析し、$X_n$ のスケーリングを導出する。ここで $\tau_k$ はサイト $k$ での滞在時間である。
• Borel-Cantelli 論法とマルコフ不等式を用いて $T_n$ のほとんど確実なバウンドを示し、$\log T_n / \log n \to 1/\alpha$ a.s. を得る。
• i.i.d. ランダム変数 $Z_i$ が正規化された尾を持つ場合のモーメント母関数と尾推定を用い、$\alpha(\lambda)$ と $\alpha_\infty$ を通じてスケーリング指数 $\alpha$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偏りのある i.i.d. な伝導度の下で、非力学的ランダムウォークについて $X_n = n^{\alpha + o(1)}$ となる正しいスケーリング指数 $\alpha$ は何か？
• RQ2 指数的チルトモデル（BiRC）における偏りの強さに、スケーリング指数 $\alpha$ はどのように依存するか？
• RQ3 距離に依存する Mott ワークモデル（R1M）における偏りに、スケーリング指数 $\alpha$ はどのように依存するか？
• RQ4 両モデルとも非力学的であるにもかかわらず、なぜスケーリングが異なるのか？
• RQ5 モーメントおよび尾推定を用いて、$\log X_n / \log n \to \alpha$ のほとんど確実な収束を厳密に確立できるか？

主な発見

• BiRC モデル（指数的チルト）では、スケーリング指数 $\alpha$ は偏りの強さ $\delta$ に依存せず、伝導度分布の尾挙動にのみ依存する。
• R1M モデル（距離に依存する偏り）では、スケーリング指数 $\alpha$ は明示的に偏りの強度に依存し、偏りの空間的相関の影響を反映している。
• 本稿では、両モデルにおいて $\log X_n / \log n \to \alpha$ がほとんど確実に成り立つことが確立され、$\alpha \in [0,1]$ であるため、ウォークの非力学的性質が確認された。
• BiRC モデルでは、伝導度分布の尾指数 $\alpha_\infty$ によって $\alpha$ が決定され、$\alpha_\infty < 1$ のとき $\alpha = \alpha_\infty$ となる。
• R1M モデルでは、ジャンプサイズ分布のモーメント母関数を含む変分問題の解として $\alpha$ が導出され、ある $\lambda$ に対して $\alpha = \alpha(\lambda)$ となる。
• 証明は、モーメント推定と Borel-Cantelli を用いて第一到達時刻 $T_n$ をバウンドすることに依存し、$T_n \leq n^{1/\alpha + o(1)}$ a.s. を示す。これにより $X_n$ のスケーリングが導かれる。