[論文レビュー] Scaling of the thermal spectral function for quantum critical bosons in one dimension

Thomas Barthel, Ulrich Schollwöck+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2012

Quantum and electron transport phenomena参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一次元量子系における有限温度シミュレーションで到達可能な最大時間の2倍に相当する、時間に依存する密度行列くりこみ群（tDMRG）スキームを提案する。この手法により、動的臨界指数 z=2 の量子臨界定常ボソン系の熱的スペクトル関数の高精度な計算が可能となり、S(k,ω) = (1/T)·Φ_S(k/√T, ω/T) の普遍的スケーリング形が確認され、スケーリング関数 Φ_S の数値的高精度決定がなされた。

ABSTRACT

We present an improved scheme for the precise evaluation of finite-temperature response functions of strongly correlated systems in the framework of the time-dependent density matrix renormalization group. The maximum times that we can reach at finite temperatures T are typically increased by a factor of two, when compared against the earlier approaches. This novel scheme, complemented with linear prediction, allows us now to evaluate dynamic correlators for interacting bosons in one dimension. We demonstrate that the considered spectral function in the quantum critical regime with dynamic critical exponent z=2 is captured by the universal scaling form S(k,omega)=(1/T)*Phi(k/sqrt(T),omega/T) and calculate the scaling function precisely.

研究の動機と目的

• 強相関性を示す一次元量子系における有限温度応答関数のより効率的な tDMRG スキームの開発。
• 一次元の相互作用を有するボソン系の有限温度における動的相関関数の高精度な評価の実現。
• z=2 の量子臨界定常領域における熱的スペクトル関数の普遍的スケーリング形の検証と確認。
• スケーリング関数 Φ_S(k/√T, ω/T) の高精度な数値的決定。
• 近接スピン相互作用 V の異なる値において、Φ_S が普遍的であることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、時間発展演算におけるエンタングルメント成長を著しく抑制する新規 tDMRG スキーム（スキーム C）を導入し、従来手法と比較して最大到達時間の2倍にまで向上させた。
• 高い精度を維持しつつ結合次元を制御するため、最適化された切断パラメータ（ε_β = 10⁻¹², ε_t = 10⁻¹⁰）を採用した。
• 線形予測を用いて時間発展演算データを延長し、実時間相関関数からスペクトル関数 S(k,ω) を抽出した。
• 熱的スペクトル関数は、S(x,t) を熱的密度行列と時間発展演算子から得た後、S(k,ω) = ∑_x e^{ikx} ∫ dt e^{iωt} S(x,t) の式で計算した。
• スケーリング仮説 S(k,ω) ≈ (1/T)·Φ_S(k/√T, ω/T) は、k/√T と ω/T でのデータのスケーリングを適用し、コラプスが確認されたことで検証された。
• 大時間および大距離における解析的漸近結果（リーマン＝ヒルベルト問題形式）を用いて、数値結果のベンチマークを実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一次元の量子臨界定常ボソン系の熱的スペクトル関数は、S(k,ω) = (1/T)·Φ_S(k/√T, ω/T) の普遍的スケーリング形を満たすか？
• RQ2 z=2 の量子臨界定常領域におけるスケーリング関数 Φ_S(k/√T, ω/T) の正確な関数形は何か？
• RQ3 近接スピン相互作用 V の異なる値において、スケーリング関数 Φ_S は普遍的か？
• RQ4 新規 tDMRG スキームは、従来手法と比較して、有限温度における動的相関関数の精度と到達時間にどの程度向上をもたらすか？
• RQ5 有限サイズ効果および線形予測の影響が、低温における Φ_S の抽出にどの程度及ぼされるか？

主な発見

• z=2 の一次元量子臨界定常ボソン系の熱的スペクトル関数 S(k,ω) は、S(k,ω) = (1/T)·Φ_S(k/√T, ω/T) の普遍的スケーリング形を示し、異なる温度および系サイズにおいてデータコラプスにより確認された。
• V=0, 1/4, 1/2 の異なる値においても、スケーリング関数 Φ_S は普遍的であることが、スケーリングされた S(k,ω) 曲線のコラプスにより裏付けられた。
• k=0 の場合、スケーリング関数は Φ_S(0, ω/T) = 0.649·(ω/T) / (1 + 0.826·(ω/T)³) でよくフィットし、低周波数領域で高い精度を示した。
• V=0 の場合、実空間相関関数 g(ξ,τ) の数値的結果は、リーマン＝ヒルベルト問題形式から導かれた解析的漸近式と非常に良好に一致した。
• 新規 tDMRG スキームにより、最大時間は従来手法と比較して約2倍に向上し、低温における線形予測誤差および有限サイズ効果が著しく低減された。
• 本研究により、スケーリング関数 Φ_S が高周波数領域で ~ω⁻² のように減衰することが確認され、z=2 臨界定常性の理論的期待と整合的であった。