[論文レビュー] Scaling transformation and probability distributions for financial time series

Brachet, Marc-Etienne, Taflin, Erik+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 1999

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、為替為替レート（DM/$）およびCAC 40インデックスのデータを用いて、価格変動のスケーリング変換を非線形群論的枠組みで分析し、スペクトルの下に凸性を示すことで、価格変動分布が多フラクタル的性質を示すことを示している。モーメントに基づく逆変換を用いて、時間スケールにわたる価格変動の確率分布の族を導出し、広い時間スケールおよび価格変動範囲において実証データと強い一致を示している。

ABSTRACT

The price of financial assets are, since Bachelier, considered to be described by a (discrete or continuous) time sequence of random variables, i.e a stochastic process. Sharp scaling exponents or unifractal behavior of such processes has been reported in several works. In this letter we investigate the question of scaling transformation of price processes by establishing a new connexion between non-linear group theoretical methods and multifractal methods developed in mathematical physics. Using two sets of financial chronological time series, we show that the scaling transformation is a non-linear group action on the moments of the price increments. Its linear part has a spectral decomposition that puts in evidence a multifractal behavior of the price increments.

研究の動機と目的

• 非線形群表現を用いて金融時系列のスケーリング変換を調査すること。
• 群論的手法と多フラクタル解析の間の関係を金融データにおいて確立すること。
• 異なる時間スケールにおける価格変動の明示的確率分布を導出すること。
• モーメントのスケーリング指数のスペクトルの下に凸性を用いて、金融データが多フラクタル的スケーリング行動を示すかどうかを検証すること。
• FXおよび株価インデックスからの実証データと比較することで、モデルの妥当性を検証すること。

提案手法

• 時間拡張 τ → aτ を用いて、価格変動分布の集合へのスケーリング群作用 T を定義する。
• 実数 r ∈ ℝ⁺ に対して、Sr(τ) = ∫x^r q(x)dx として確率分布をモーメントベクトルに変換する。
• 文献[8][9][16]の公式を用いて、モーメントから確率密度を再構成する逆モーメント変換（S⁻¹）を適用する。
• スケーリングパラメータ a が小さい場合に、線形近似 U_a^(1)(m) = (a^{ζ_r} m_r)_r を用いる。
• ln s_r(τ) と ln τ の線形回帰を用いて、スペクトル {ζ_r} を分析し、スケーリング指数を抽出する。
• τ = 8 および 512 分の範囲で、再構成された分布（M.A.M.）と実証密度を比較することで、モデルを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 金融価格変動のスケーリング変換は、小さなスケールで線形近似可能な非線形群表現を有するか？
• RQ2 スケーリング指数のスペクトル ζ_r が下に凸であるか、これは金融時系列における多フラクタル的性質を示唆するか？
• RQ3 時間スケールにわたる実証モーメントから、価格変動の確率分布の族を明示的に構成できるか？
• RQ4 モーメントに基づく逆変換法は、実証価格変動分布をどの程度正確に再現できるか？
• RQ5 異なる金融商品（例：為替と株価インデックス）は、類似したスケーリングおよび多フラクタル的性質を示すか？

主な発見

• 為替（DM/$）では、11 ≤ τ ≤ 2896 分および 1 ≤ r ≤ 10 の範囲で線形スケーリング近似が成立し、ζ_r は ln s_r(τ) 対 ln τ の傾きとして抽出された。
• CAC 40 では、より広い範囲で線形近似が成立しており、1 ≤ τ ≤ 2048 分および 1 ≤ r ≤ 10 の範囲である。
• 両データセットにおいてスペクトル ζ_r は非自明に下に凸であり、定義上多フラクタル的性質が確認された [7]。
• τ = 8 および 512 分の範囲で、再構成された確率分布（M.A.M.）は、広い価格変動範囲において実証データと良好に一致した。
• 特に裾の部分において、標準的分布（正規分布、Lévy分布、対数正規分布など）よりもモデルの適合度が優れていた。
• 逆モーメント法により、金融リターン過程の族 {p_w(τ)}_τ>0 が明示的かつデータ駆動的に構成可能であることが示された。