[論文レビュー] Scattering in PT-symmetric quantum mechanics

F. Cannata, Jean-Pierre Dedonder+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2006

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 35被引用数 72

ひとこと要約

本稿は、PT対称ハミルトニアンを有する非エルミート量子力学における1次元散乱の包括的な形式的枠組みを構築し、透過率および反射係数にかかる制約を導出する。主たる貢献は、正確な漸近的PT対称性と複素PT対称ポテンシャルにおける反射なし散乱との関連を確立し、初めての可解な非局所PT対称ポテンシャルを導入することで、局所ポテンシャルとは異なるユニタリティ破れの挙動を明らかにすることにある。

ABSTRACT

A general formalism is worked out for the description of one-dimensional scattering in non-hermitian quantum mechanics and constraints on transmission and reflection coefficients are derived in the cases of P, T, or PT invariance of the Hamiltonian. Applications to some solvable PT-symmetric potentials are shown in detail. Our main original results concern the association of reflectionless potentials with asymptotic exact PT symmetry and the peculiarities of separable kernels of non-local potentials in connection with hermiticity, T invariance and PT invariance.

研究の動機と目的

• PT対称ハミルトニアンを有する非エルミート量子力学における1次元散乱の自己完結的かつ包括的な形式的枠組みを確立すること。
• 特に非局所ポテンシャルに対して、エルミーシニティ、時間反転不変性、およびPT対称性の相違関係を明確にすること。
• PT対称ポテンシャルが反射なしとなる条件を特定すること、特に正確な漸近的PT対称性という概念を通じて。
• PT対称ポテンシャルの可解例（非局所分離型カーネルを含む）を提示・分析すること。
• 非エルミート散乱におけるユニタリティ破れの理解を拡張し、局所的および非局所的ケースを対比すること。

提案手法

• 右移動波と左移動波（|R> および |L>）で張られる2基底ヒルベルト空間を用いて1次元散乱理論を定式化し、漸近的波動関数を重ね合わせとして表現する。
• 非局所ポテンシャルに対して、L-R表現を用いて散乱振幅およびカーネル関数を用いて透過率および反射係数の一般式を導出する。
• P、T、PTの対称性を適用し、ハミルトニアンの不変性を保証するためのカーネル条件を導出する。
• 正確な漸近的PT対称性という概念を導入し、空間無限遠における散乱状態がPT作用に対して共変的に変換されることを要件とする。
• 複素かつPT対称なカーネルを有するヤマグチ型分離型非局所ポテンシャルを分析し、透過率および反射係数を明示的に計算する。
• 対称的非局所カーネル（g = h, α = β）の下で、透過係数TR→LとTL→Rが等しくなることを示し、カーネルの対称性と透過係数の等価性の関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PT対称ポテンシャルがどのような条件下で反射なし散乱を示すか、またそれは漸近的PT対称性とどのように関連するか。
• RQ2 非局所的ポテンシャルと局所的ポテンシャルにおいて、エルミーシニティと時間反転不変性の相違関係はどのように異なるか。
• RQ3 PT不変性が非エルミート系における散乱振幅のユニタリティに与える影響は何か。
• RQ4 可解な非局所PT対称ポテンシャルを構築できるか。また、その散乱特性は局所的ポテンシャルとどのように異なるか。
• RQ5 非エルミート系における散乱形式的枠組みは、多チャンネルまたはスピン依存散乱にどのように拡張できるか。

主な発見

• 正確な漸近的PT対称性——空間無限遠における散乱状態のPT変換の共変性を要件とする——が、ポテンシャルが反射なしとなることを強制し、複素PT対称系における反射なし散乱の新たな基準を提供する。
• 本稿では、形式 K(x,y) = g(x)h(y) を有する分離型カーネルを有する、初めての可解な非局所PT対称ポテンシャルを構築し、非局所系では一般に透過係数TR→LとTL→Rが等しくないことが示された。
• 対称的非局所カーネル（g = h, α = β）の下で、透過係数は等しくなる。これは、K_T = K† を満たす相互作用の間隔条件と同等であり、PT対称性と整合的であることを保証する。
• 非局所PT対称ポテンシャルにおけるユニタリティ破れは、局所ポテンシャルとは異なる特徴を示すことが、ヤマグチ型カーネルに対する詳細な計算を通じて明らかになった。
• 形式的枠組みにより、エルミーシニティが時間反転不変性を意味するとは限らず、非局所系ではPT対称性と併存しうることが判明し、微妙な差異が浮き彫りになった。
• 本研究により、PT対称系における反射なし散乱が実ポテンシャルに限定されないことが確立され、複素ポテンシャルへのスパゲティ的およびダーブルックスベースの手法の適用範囲が拡張された。