[論文レビュー] Scattering of EM waves by many small perfectly conducting or impedance bodies

А. Г. Рамм|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の形状の小さな完全導体またはインピーダンス体による電磁波散乱の理論を展開し、インピーダンス粒子の散乱が $ a^{2-\kappa} $（$ \kappa \in [0,1) $）に比例することを示しており、完全導体粒子の $ a^3 $ 比例よりもはるかに強いものである。主な貢献は、ホスト媒体に境界インピーダンスと空間的分布が調整された小さなインピーダンス粒子を埋め込むことで、所望の有効屈折率や磁気感受率を持つ材料を設計するための手法を提供することにある。

ABSTRACT

A theory of electromagnetic (EM) wave scattering by many small particles of an arbitrary shape is developed. The particles are perfectly conducting or impedance. For a small impedance particle of an arbitrary shape an explicit analytical formula is derived for the scattering amplitude. The formula holds as $a o 0$, where $a$ is a characteristic size of the small particle and the wavelength is arbitrary but fixed. The scattering amplitude for a small impedance particle is shown to be proportional to $a^{2-κ}$, where $κ\in [0,1)$ is a parameter which can be chosen by an experimenter as he/she wants. The boundary impedance of a small particle is assumed to be of the form $ζ=ha^{-κ}$, where $h=$const, Re$h\ge 0$. The scattering amplitude for a small perfectly conducting particle is proportional to $a^3$, it is much smaller than that for the small impedance particle. The many-body scattering problem is solved under the physical assumptions $a\ll d\ll λ$, where $d$ is the minimal distance between neighboring particles and $λ$ is the wavelength. The distribution law for the small impedance particles is $\mathcal{N}(δ)\sim\int_δN(x)dx$ as $a o 0$. Here $N(x)\ge 0$ is an arbitrary continuous function that can be chosen by the experimenter and $\mathcal{N}(δ)$ is the number of particles in an arbitrary sub-domain $Δ$. It is proved that the EM field in the medium where many small particles, impedance or perfectly conducting, are distributed, has a limit, as $a o 0$ and a differential equation is derived for the limiting field. On this basis the recipe is given for creating materials with a desired refraction coefficient by embedding many small impedance particles into a given material.

研究の動機と目的

• 任意の形状の小さな体（完全導体およびインピーダンス粒子を含む）による電磁波散乱の厳密な数学的理論の構築。
• 粒子サイズ $ a \to 0 $ の極限において、物理的条件 $ a \ll d \ll \lambda $ の下で散乱断面積の明示的解析的公式の導出。
• 多数の小さな粒子を含む媒質における有効場の極限積分方程式および微分方程式の確立。
• 制御されたパrameterを有する小さなインピーダンス粒子を埋め込むことで、所望の有効屈折率または磁気感受率を持つ材料を設計する実用的手順の提供。
• パrameter $ \kappa \in [0,1) $ を調整することにより、インピーダンス粒子の散乱断面積が完全導体粒子よりも顕著に増幅されることの証明。

提案手法

• 任意の形状の小さなインピーダンス体の散乱断面積に対して明示的な解析的公式を導出し、$ a^{2-\kappa} $ に依存することを示す。ここで $ \kappa \in [0,1) $ は実験者が調整可能なパラメータである。
• 境界インピーダンス $ \zeta_m = h(x_m)/a^\kappa $ を用い、$ h(x) $ は連続的かつ $ \operatorname{Re} h \geq 0 $ を満たすようにすることで、散乱強度を制御する。
• $ a \to 0 $ の下で、$ \mathcal{N}(\Delta) \sim \frac{1}{a^{2-\kappa}} \int_\Delta N(x)\,dx $ という分布則を確立し、$ N(x) \geq 0 $ を用いて空間的制御を任意に可能にする。
• 多数体散乱問題を、解が $ a \to 0 $ の下で極限積分方程式に収束する線形代数的系に還元することで解く。
• 極限場の局所微分方程式を導出し、これにより有効屈折率および磁気感受率を明示的に計算する。
• 極限場方程式を用いて、有効屈折率 $ n(x) $ および感受率 $ \mu(x) $ の閉形式の式を導出し、これらが $ h(x) $、$ N(x) $、および $ \kappa $ に依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離変数法とは独立して、任意の形状の小さなインピーダンス体の散乱断面積に対して明示的な解析的公式を導出可能か？
• RQ2 小さなインピーダンス体の散乱断面積は粒子サイズ $ a $ に対してどのように依存するか。また、このスケーリングは粒子の形状とは独立に調整可能か？
• RQ3 物理的スケーリング $ a \ll d \ll \lambda $ の下で、多数の小さなインピーダンス体を含む媒質における電磁場の極限的挙動は何か？
• RQ4 所望の有効屈折率を持つ材料を、所定の境界条件および空間的分布を有する小さなインピーダンス粒子を埋め込むことで設計可能か？
• RQ5 有効媒質における多重散乱の役割は何か。また、粒子サイズが小さく密度が高い極限において、これを厳密に取り扱う方法は何か？

主な発見

• 小さなインピーダンス粒子の散乱断面積は $ a^{2-\kappa} $ に比例し、$ \kappa \in [0,1) $ は調整可能なパラメータであり、完全導体粒子の $ a^3 $ 比例よりも顕著に強い。
• 定理5.1で示されるように、適切な $ h(x) $ と $ \kappa $ を選ぶことで、有効屈折率 $ n(x) $ を任意の所望の複素関数に限りなく近づけることができる。
• 有効磁気感受率 $ \mu(x) $ も $ h(x) $ を調整することで任意の所望の値に設計可能であり、式 $ \mu(x) = \mu / (1 + \frac{2c_0}{3i\omega\mu} h(x)N(x)) $ で与えられる。
• 媒質内の極限場は、多数体散乱問題から導かれた局所微分方程式を満たし、これにより所望のマクロな電磁的性質を持つ材料の設計が可能になる。
• $ h_1(x) \geq 0 $ かつ屈折率の引数が $ (-\pi, -\pi/2) $ の範囲にあるように $ h_2(x) $ を選ぶことで、負の屈折（$ \operatorname{Re} n(x) < 0 $）を持つ材料を設計可能である。
• 理論は、境界インピーダンスと空間的分布が指定された小さなインピーダンス粒子を制御的に埋め込むことで、所望の電磁応答を有するメタマテリアルを設計するための厳密な基盤を提供する。