[論文レビュー] Scattering of solutions to NLW by Inward Energy Decay

Ruipeng Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元で径線的かつエネルギー下位臨界な焦点外非線形波動方程式の散乱を、外向きエネルギーに仮定を設けず、特定の割合での内向きエネルギーの減衰のみを要件として、確立する。新規の重み付きエネルギー推定と1次元比較論法を用い、正の時間におけるグローバル散乱を証明し、初期データの緩い減衰条件下で解が自由波に収束する明示的な収束速度を提示する。

ABSTRACT

The topic of this paper is a semi-linear, energy sub-critical, defocusing wave equation $\partial_t^2 u - Δu = - |u|^{p -1} u$ in the 3-dimensional space ($3\leq p<5$) whose initial data are radial and come with a finite energy. In this work we prove scattering in the positive time direction by only assuming the inward part of the energy decays at a certain rate, as long as the total energy is finite, regardless of the decay rate or size of the outward energy. More precisely, we assume the initial data comes with a finite energy and \[ \int_{{\mathbb R}^3} \max\{1,|x|^κ\}\ (\ | abla u_0(x)\cdot \frac{x}{|x|} + \frac{u_0(x)}{|x|} + u_1(x)\ |^2 + \frac{2}{p+1}|u_0(x)|^{p+1}\ ) dx < \infty. \] Here $κ\geq κ_0(p) = \frac{5-p}{p+1}$ is a constant. If $κ>κ_0(p)$, we can also prove $\|u\|_{L^p L^{2p}}({\mathbb R}^+ imes {\mathbb R}^3)< +\infty$ and give an explicit rate of $u$'s convergence to a free wave.

研究の動機と目的

• 有限エネルギーを除き、最小限の仮定のもとで3次元焦点外非線形波動方程式の径線的解の散乱を確立すること。
• 外向きエネルギーの強い減衰やサイズの仮定を排除するため、内向きエネルギーの減衰に注目すること。
• 重み付き内向きエネルギーの減衰条件のみを用いて、正の時間方向におけるグローバル存在と散乱を証明すること。
• 初期データのより強い減衰仮定のもとで、解が自由波に収束する明示的な収束速度を導出すること。

提案手法

• 径線的微分と解の径線的成分を含む重み付きエネルギー関数を導入し、重み $ |x|^{\kappa} $、$ \kappa > \kappa_0(p) = \frac{5-p}{p+1} $ を用いて内向きエネルギーの減衰を制御する。
• 径線的波動方程式を $ r $ で1次元に還元し、非線形項 $ -\frac{|w|^{p-1}w}{r^{p-1}} $ を持つ1次元波動方程式に変換する。ここで $ w = ru $ である。
• d'Alembertの公式を用いて、解を初期データと特性三角形上の非線形積分で表現する。
• 初期データの重み付きノルムにおける小さな条件を仮定し、非線形成長を制御するためのブートストラップ論法を適用する。
• 非線形積分を領域依存内での解の大きさで上界評価するための比較補題（補題5.1）を適用する。
• エネルギー保存則とStrichartz型推定を組み合わせ、$ L^p L^{2p} $ ノルムを制御し、$ \dot{H}^1 \times L^2 $ での散乱を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限エネルギーと内向きエネルギーの減衰のみを仮定した3次元焦点外NLWに対して、散乱を証明できるか？外向きエネルギーに仮定を設けないでよいのか？
• RQ2 正の時間方向における散乱を保証するための初期データの最小減衰率は何か？
• RQ3 初期データのより強い減衰仮定のもとで、解が自由波に収束する明示的な収束速度を導出できるか？
• RQ4 内向きエネルギーの減衰条件のもとで、外部領域 $ |x| > t + R $ における解の振る舞いはいかなるものか？
• RQ5 散乱結果を可能にする重み指数 $ \kappa $ の鋭い閾値は何か？

主な発見

• 重み付きエネルギー条件 $ \int_{\mathbb{R}^3} (1 + |x|^\kappa) \left( |\nabla u_0|^2 + |u_1|^2 + |u_0|^{p+1} \right) dx < \infty $ を $ \kappa > \kappa_0(p) = \frac{5-p}{p+1} $ として満たす限り、$ p \in [3,5) $ に対して3次元焦点外NLWの径線的解について $ \dot{H}^1 \times L^2 $ での散乱が証明される。
• $ \kappa > \kappa_0(p) $ のもとで、解は $ \|u\|_{L^p L^{2p}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^3)} < \infty $ を満たし、空間時間的強い可積分性を示す。
• 明示的な収束速度が得られる：同じ条件のもとで $ \|u(t) - v(t)\|_{\dot{H}^1 \times L^2} \to 0 $ が $ t \to \infty $ のとき成り立つ。
• 解は $ |w(r,t)| \leq 3c r^\beta $ を満たす $ r \geq t + R $ に対して、ここで $ w = ru $、$ \beta = \frac{2}{p-1} $、$ c $ は小さい定数であり、外部領域で $ u(r,t) \simeq c r^{-\frac{2}{p-1}} $ と近似できる。
• 初期データが $ |x|^{-\frac{2}{p-1}} $ のように減衰する例を構成し、$ \kappa \in \left(\frac{5-p}{p+1}, \frac{5-p}{p-1}\right) $ に対して重み付きエネルギー条件を満たすが、$ \|u\|_{L^{2(p-1)} L^{2(p-1)}} = \infty $ となることを示し、$ L^p L^{2p} $ ノルム条件の鋭さを示している。
• 外向きエネルギーの大きさや減衰に制限を設けず、内向きエネルギーの減衰のみで散乱が成立することを示しており、これは内向きエネルギーの減衰が散乱を保証するのに十分であることを示している。