[論文レビュー] Scattering resonances for highly oscillatory potentials

Alexis Drouot|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、奇数次元における高周波数的ポテンシャル $ V_\varepsilon(x) = W(x, x/\varepsilon) $ の散乱共鳴を分析し、ゆっくり変化する部分 $ W_0 \equiv 0 $ の場合、共鳴は $ \operatorname{Im} \lambda \leq C - A \ln(\varepsilon^{-1}) $ の範囲に存在することを証明している。この境界は1次元において最良であることが示されている。$ W_0 \not\equiv 0 $ の場合、共鳴は $ \varepsilon $ の級数展開をもち、$ V_{\text{eff},\varepsilon} = W_0 - \varepsilon^2 \Lambda_0 - \varepsilon^3 \Lambda_1 $ という有効ポテンシャルが構成され、$ V_\varepsilon $ の共鳴を $ O(\varepsilon^4) $ の誤差で近似できる。これは、以前の1次元結果をすべての奇数次元に拡張したものである。

ABSTRACT

We study resonances of compactly supported potentials $ V_\varepsilon = W ( x, x/\varepsilon ) $ where $ W : \mathbb{R}^d imes \mathbb{R}^d / ( 2π\mathbb{Z}) ^d o \mathbb{C} $, $ d $ odd. That means that $ V_\varepsilon $ is a sum of a slowly varying potential, $ W_0 ( x) $, and one oscillating at frequency $1/\varepsilon$. For $ W_0 \equiv 0 $ we prove that there are no resonances above the line $ ext{Im} λ= -A \ln(\varepsilon^{-1})$, except possibly a simple resonance of modulus $\sim \varepsilon^2$, when $ d=1$. We show that this result is optimal by constructing a one-dimensional example. In the case when $ W_0 eq 0 $ we prove that resonances in fixed strips admit an expansion in powers of $\varepsilon$. The argument provides a method for computing the coefficients of the expansion. In particular we produce an effective potential converging uniformly to $W_0$ as $\varepsilon ightarrow 0$ and whose resonances approach resonances of $V_\varepsilon$ modulo $O(\varepsilon^4)$.

研究の動機と目的

• 高周波数的ポテンシャルの境界状態の存在に関する Duchflene-Vuki\u0107evi\u0107c-Weinstein による予想を解明すること。
• ゆっくり変化する部分 $ W_0 \not\equiv 0 $ のとき、$ V_\varepsilon(x) = W(x, x/\varepsilon) $ の共鳴に対する厳密な漸近的展開を確立し、以前の1次元結果をすべての奇数次元に拡張すること。
• 共鳴を $ O(\varepsilon^4) $ の誤差で近似できる有効ポテンシャル $ V_{\text{eff},\varepsilon} $ を構成し、$ \varepsilon \to 0 $ のときの共鳴挙動を一様に記述すること。

提案手法

• 共鳴を $ D_V(\lambda) = \det(\mathrm{Id} + \Psi(K_V(\lambda))) $ として特徴づけ、$ K_V(\lambda) = \rho R_0(\lambda)V $ を用い、解析的Fredholm理論を応用する。
• $ \varepsilon $ のテイラー展開を $ R(\lambda, \xi + k/\varepsilon) $ のリゾルベントに適用し、$ K_V(\lambda) $ の $ \varepsilon $ のべき級数展開を導出し、係数には $ W_k $ と $ W_{-k} $ が含まれる。
• 有効ポテンシャル $ V_{\text{eff},\varepsilon} = W_0 - \varepsilon^2 \Lambda_0 - \varepsilon^3 \Lambda_1 $ を構成し、$ \Lambda_0 = \sum_{k \neq 0} \frac{W_k W_{-k}}{|k|^2} $、$ \Lambda_1 = -2 \sum_{k \neq 0} \frac{W_{-k} ((k \cdot D)W_k)}{|k|^4} $ を用い、トレースクラスの摂動理論を適用する。
• Gohberg-Sigalの留数理論を用いて、$ \mathrm{Id} + \Psi(K_V(\lambda)) $ の余因子の解析接続を行い、行列式のメロモルフィックな拡張を保証し、共鳴解析を可能にする。
• トレースの循環性と $ \varepsilon $ における漸近展開を用い、$ E_{V,\epsilon_j} $ と $ E_{W_0,\epsilon_j} $ の積のトレースを比較し、$ \varepsilon^4 $ の誤差項を分離する。
• 共鳴が $ C_\varepsilon \cup T_\varepsilon \cup D_\varepsilon $ に一様に含まれることを確立し、$ C_\varepsilon $ は $ W_0 $ の共鳴の近く（$ O(\varepsilon^2) $ の範囲）、$ T_\varepsilon $ は中間帯域、$ D_\varepsilon $ は下側半平面の深部を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ W_0 \equiv 0 $ のとき、$ V_\varepsilon $ の共鳴の最大虚部は何か？ そしてこの境界は最良か？
• RQ2 $ W_0 \not\equiv 0 $ のとき、$ V_\varepsilon $ の共鳴は $ \varepsilon $ のべき級数に展開可能か？ もしそうなら、展開の係数は何か？
• RQ3 $ V_\varepsilon $ の共鳴を $ O(\varepsilon^4) $ の誤差で近似できる有効ポテンシャル $ V_{\text{eff},\varepsilon} $ は存在するか？ そしてどのように構成されるか？
• RQ4 $ \varepsilon \to 0 $ のとき、$ V_\varepsilon $ の共鳴の挙動は？ そして、複素平面における位置に基づいて、明確な領域に分類可能か？

主な発見

• $ W_0 \equiv 0 $ のとき、$ V_\varepsilon $ の共鳴は $ \operatorname{Im} \lambda \leq C - A \ln(\varepsilon^{-1}) $ を満たし、$ A, C > 0 $ を満たす。1次元では、この境界が最良であることが示されており、共鳴 $ \lambda_n \sim -i \ln n $ を持つステップ関数の例が構成されている。
• $ W_0 \not\equiv 0 $ のとき、$ W_0 $ の単純な共鳴 $ \lambda_0 $ の近くの共鳴 $ \lambda_\varepsilon $ は、$ \lambda_\varepsilon = \lambda_0 + c_2 \varepsilon^2 + c_3 \varepsilon^3 + \cdots + c_{N-1} \varepsilon^{N-1} + O(\varepsilon^N) $ の展開をもち、$ c_2 = i \int_{\mathbb{R}^d} \Lambda_0(x) u(x) v(x) \, dx $、$ c_3 = i \int_{\mathbb{R}^d} \Lambda_1(x) u(x) v(x) \, dx $ となる。ここで $ u, v $ は共鳴状態である。
• 有効ポテンシャル $ V_{\text{eff},\varepsilon} = W_0 - \varepsilon^2 \Lambda_0 - \varepsilon^3 \Lambda_1 $ は、$ V_\varepsilon $ の共鳴を $ O(\varepsilon^4) $ の誤差で近似でき、対応する共鳴族について $ |\lambda_\varepsilon - \mu_\varepsilon| = O(\varepsilon^4) $ が成り立つ。
• $ V_\varepsilon $ の共鳴は、3つの領域の和集合 $ C_\varepsilon \cup T_\varepsilon \cup D_\varepsilon $ に存在する。$ C_\varepsilon $ は $ W_0 $ の共鳴の近く（$ O(\varepsilon^2) $ の範囲）、$ T_\varepsilon $ は中間帯域、$ D_\varepsilon $ は下側半平面の深部で、$ \operatorname{Im} \lambda \leq -B $ かつ $ |\lambda| \geq A \ln(\varepsilon^{-1})^{1/(2d+1)} $ を満たす。
• Fredholm行列式 $ D_V(\lambda) $ の展開が、共鳴の $ \varepsilon $-展開を導くために用いられ、トレースクラスの摂動理論と留数積分法により誤差項の精密な制御が可能になった。
• 本手法により、$ \varepsilon \to 0 $ のときの共鳴挙動を一様に記述でき、共鳴は $ W_0 $ の共鳴に収束するか、下側半平面で無限遠に発散するか、または $ W_0 $ の共鳴と大規模な距離で相関を保つことのいずれかであることが示された。