[論文レビュー] Scattering Theory for Open Quantum Systems

Jussi Behrndt, M. M. Malamud+1 more|ArXiv.org|Oct 31, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最大散乱作用素（擬ハミルトニアン）で記述される開放量子系の散乱理論枠組みを構築し、その散乱行列が自己共役拡大のユニタリ散乱行列から完全に回復可能であることを示している。主な貢献は、エネルギー依存性を有する散乱系に対する有界下方のハミルトニアン埋め込みの厳密な構成であり、特性関数論を用いて閉じた系の散乱行列が元の開放系の散乱行列と一致することを証明している。

ABSTRACT

Quantum systems which interact with their environment are often modeled by maximal dissipative operators or so-called Pseudo-Hamiltonians. In this paper the scattering theory for such open systems is considered. First it is assumed that a single maximal dissipative operator $A_D$ in a Hilbert space $\sH$ is used to describe an open quantum system. In this case the minimal self-adjoint dilation $\widetilde K$ of $A_D$ can be regarded as the Hamiltonian of a closed system which contains the open system $\{A_D,\sH\}$, but since $\widetilde K$ is necessarily not semibounded from below, this model is difficult to interpret from a physical point of view. In the second part of the paper an open quantum system is modeled with a family $\{A(μ)\}$ of maximal dissipative operators depending on energy $μ$, and it is shown that the open system can be embedded into a closed system where the Hamiltonian is semibounded. Surprisingly it turns out that the corresponding scattering matrix can be completely recovered from scattering matrices of single Pseudo-Hamiltonians as in the first part of the paper. The general results are applied to a class of Sturm-Liouville operators arising in dissipative and quantum transmitting Schrödinger-Poisson systems.

研究の動機と目的

• 最大散乱作用素（擬ハミルトニアン）で記述される開放量子系の厳密な散乱理論の構築を目的とする。
• 標準的拡大理論における非有界下方自己共役拡大の物理的不整合性に対処することを目的とする。
• エネルギー依存性を有する最大散乱作用素族で記述される開放系のための有界下方閉じた系埋め込みを構築することを目的とする。
• 特性関数を用いて、閉じた系の散乱行列と元の開放系の散乱行列との完全な対応関係を確立することを目的とする。
• 散乱理論を、散乱的および量子透過シュレーディンガー＝ポアソン系に現れるスツルム＝リウヴィル作用素に適用することを目的とする。

提案手法

• 対称作用素の拡張を特徴付けるために境界三つ組理論とウェイル関数の使用。
• 作用素 $K_0 = A_0 \oplus G_0$ の特異的有限ランク摂動を用いて、最大散乱作用素 $A_D$ の自己共役拡大 $\widetilde{K}$ の構成。
• ラクス＝フィリップスの散乱枠組みを用いて波作用素および散乱作用素 $S(\widetilde{K}, K_0)$ を定義。
• スペクトル表現における乗法作用素としての散乱行列 $\{\widetilde{S}(\lambda)\}$ の導出。
• 散乱行列と最大散乱拡大 $A_{-\tau(\lambda)}$ の特性関数 $W_{A_{-\tau(\lambda)}}(\lambda - i0)^*$ の間の関係の確立。
• ボスレイ＝フォミン作用素をモデルとして用いて、点相互作用を有するスツルム＝リウヴィル作用素への理論の適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の最大散乱作用素で記述される開放量子系を、物理的に整合的な有界下方ハミルトニアンで埋め込むことは可能か？
• RQ2 自己共役拡大による閉じた系の散乱行列は、元の開放系の散乱行列とどのように関係しているか？
• RQ3 エネルギー依存性を有する最大散乱作用素族の散乱行列は、個々の擬ハミルトニアンの散乱行列から回復可能か？
• RQ4 最大散乱作用素の特性関数とその自己共役拡大の散乱行列との正確な関係は何か？
• RQ5 この枠組みは、点相互作用を有する散乱的シュレーディンガー＝ポアソン系のような物理系にどのように適用可能か？

主な発見

• 自己共役拡大 $\widetilde{K}$ の散乱行列 $\{\widetilde{S}(\lambda)\}$ は $2\times2$ ブロック行列に分解され、左上ブロックは散乱系 $\{A_D, A_0\}$ の散乱行列 $\{S_D(\lambda)\}$ に等しい。
• 散乱行列 $\{\widetilde{S}(\lambda)\}$ は、$K_0^{ac}$ のスペクトル表現における $\{\widetilde{S}(\lambda)\}$ によって誘導される乗法作用素とユニタリ同値である。
• 散乱行列 $\{\widetilde{S}(\lambda)\}$ は明示的に $\widetilde{S}(\lambda) = I - 2iP_{\tau(\lambda)}\sqrt{\Im(\tau(\lambda))}(M(\lambda) + \tau(\lambda))^{-1}\sqrt{\Im(\tau(\lambda))}$ と与えられる。ここで $M(\lambda)$ はウェイル関数、$\tau(\lambda)$ は散乱拡大のウェイル関数である。
• 閉じた系 $\{\widetilde{L}, L_0\}$ の散乱行列は $\widetilde{S}(\lambda) = W_{A_{-\tau(\lambda)}}(\lambda - i0)^*$ を満たし、特性関数と散乱行列との直接的な関係を確立する。
• 点相互作用を有するスツルム＝リウヴィル系では、自己共役拡大 $\widetilde{L}$ がボスレイ＝フォミン作用素と一致し、この構成の物理的妥当性を裏付ける。
• 本フレームワークにより、エネルギー $\mu$ に依存する最大散乱作用素族 $\{A(\mu)\}$ を用いることで、開放系の有界下方埋め込みが可能となり、標準的拡大理論における非有界下方性の問題が解決される。