[論文レビュー] Scenario Aggregation using Binary Decision Diagrams for Stochastic Programs with Endogenous Uncertainty

Utz‐Uwe Haus, Carla Michini+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2017

Reliability and Maintenance Optimization参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、二値意思決定図（BDD）を用いて、確率的計画問題における内生的不確実性をコン pact に集約する新しい手法を提案する。シナリオ集合をBDDとして符号化することで、意思決定に依存する確率の線形因子分解を経て、非線形で非逐次的（non-anticipative）なモデルを小さな混合整数線形計画問題（MILP）に変換する。この手法により、確率的ネットワーク遮断問題や信頼性最適化問題などの問題において、問題サイズと解法時間の顕著な削減が達成される。

ABSTRACT

Modeling decision-dependent scenario probabilities in stochastic programs is difficult and typically leads to large and highly non-linear MINLPs that are very difficult to solve. In this paper, we develop a new approach to obtain a compact representation of the recourse function using a set of binary decision diagrams (BDDs) that encode a nested cover of the scenario set. The resulting BDDs can then be used to efficiently characterize the decision-dependent scenario probabilities by a set of linear inequalities, which essentially factorizes the probability distribution and thus allows to reformulate the entire problem as a small mixed-integer linear program. The approach is applicable to a large class of stochastic programs with multivariate binary scenario sets, such as stochastic network design, network reliability, or stochastic network interdiction problems. Computational results show that the BDD-based scenario representation reduces the problem size, and hence the computation time, significant compared to previous approaches.

研究の動機と目的

• 意思決定に依存するシナリオ確率のモデル化という課題に取り組むこと。これは、通常、巨大で非線形なMINLPを生じさせる。
• 多変量二値シナリオ集合に対して、BDDを用いて再配分関数のコン pact かつ正確な表現を開発すること。
• 非線形項を回避するため、BDD構造から導出された線形不等式を用いて、意思決定に依存するシナリオ確率を効率的に特徴付けること。
• 内生的不確実性を有する複雑な確率的計画問題を、小さな混合整数線形計画問題（MILP）に再定式化すること。
• 本手法の有効性を、確率的ネットワーク遮断やネットワーク信頼性最適化といった実世界の問題に実証すること。

提案手法

• 意思決定に依存するシナリオ確率の構造を捉えるために、シナリオ集合のネストされたカバーを符号化する二値意思決定図（BDD）の集合を構築する。
• BDDを用いて、すべての関連する結果と確率を保持する、圧縮された正確な形でシナリオ集合を表現する。
• BDD構造から線形不等式系を導出し、意思決定の関数として確率分布をモデル化することで、線形再定式化を可能にする。
• 再配分関数の単調性（例：最短経路長や最大フロー）を活用し、近似を伴わずに、すべての関連するシナリオ行動をBDDが捉えることを保証する。
• BDDに基づく再定式化を適用し、元の非線形確率的計画問題を、標準的なMIPソルバで解ける小さなMILPに変換する。
• lemon-1.3.1ライブラリを介した最大フローオракルを用いた共同生成手順を用い、フロー値を低下させる最小エッジ集合を計算し、BDD構築のためのシナリオ列挙を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内生的不確実性を有する確率的計画問題において、BDDを用いて指数的サイズの大きなシナリオ集合をコン pact に表現できるか？
• RQ2 BDD構造から導出された線形不等式を用いて、非線形項を回避する形で意思決定に依存するシナリオ確率をモデル化できるか？
• RQ3 従来のMINLPまたはサンプリングベースの手法と比較して、BDDに基づく再定式化は問題サイズと計算時間を顕著に削減するか？
• RQ4 本手法は、ネットワーク遮断や信頼性最適化といった実世界の問題に、どの程度適用可能か？
• RQ5 再生成を伴わずに、さまざまな遮断予算と成功確率に対して、再定式化されたMILPが効率的に解けるか？

主な発見

• BDDに基づくシナリオ集約により、従来の手法と比較して問題サイズと計算時間が顕著に削減され、かつて解法不能であったインスタンスの正確な解法が可能になった。
• 本手法により、内生的不確実性を有する確率的計画問題が、意思決定変数の積項による非線形性を回避する小さな混合整数線形計画問題（MILP）に正確に再定式化された。
• SNIP(IB)ベンチマークインスタンスにおいて、再生成を伴わずに、すべての遮断予算と成功確率において正確な再定式化が解けるようになった。
• ネットワーク構造とパラメータ（例：予算、確率）が分離されているため、パrameterスタディが効率的に行え、MILPモデルの再利用性が向上した。
• コン pact な定式化であるが、現在のMIPソルバ（CPLEX、Gurobi、FICO Xpress、SCIP）は問題構造に対して苦戦しており、今後の研究において分解法の適用が有望である。
• 本手法は、多変量二値シナリオ集合を有する問題、特に確率的ネットワーク設計、信頼性、遮断問題など、広範な分野に適用可能である。