[論文レビュー] Scenario-based Stochastic MPC for systems with uncertain dynamics

Francesco Micheli, John Lygeros|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Advanced Control Systems Optimization被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、サンプルされたシステム軌道を用いてモデル不確実性を確率的にバインドする、不確実なダイナミクスを有する線形システムのためのシナリオベースの確率的モデル予測制御（SMPC）フレームワークを提案する。許容誤差の確率的満たしを保証するためのシナリオ数の有限サンプル上界を導出することで、擾乱やパラメータ分布の明示的知識が不要な分布フリーでロバストな制御を実現する。シミュレーション例による検証では、標準的なSMPCと比較して制約違反率が低減していることが示された。

ABSTRACT

Model Predictive Control is an extremely effective control method for systems with input and state constraints. Model Predictive Control performance heavily depends on the accuracy of the open-loop prediction. For systems with uncertainty this in turn depends on the information that is available about the properties of the model and disturbance uncertainties. Here we are interested in situations where such information is only available through realizations of the system trajectories. We propose a general scenario-based optimization framework for stochastic control of a linear system affected by additive disturbance, when the dynamics are only approximately known. The main contribution is in the derivation of an upper bound on the number of scenarios required to provide probabilistic guarantees on the quality of the solution to the deterministic scenario-based finite horizon optimal control problem. We provide a theoretical analysis of the sample complexity of the proposed method and demonstrate its performance on a simple simulation example. Since the proposed approach leverages sampling, it does not rely on the explicit knowledge of the model or disturbance distributions, making it applicable in a wide variety of contexts.

研究の動機と目的

• 利用可能なのはサンプルされた軌道のみであるが、不確実なダイナミクスを有する線形時不変システムの制御という課題に対処すること。
• サンプリングを用いてエピステミック不確実性を明示的に取り入れることで、確率的MPCの過剰な保守性を低減すること。
• 擾乱やパrameter分布の明示的知識が不要な確率的保証を提供することにより、制約の満たしを保証すること。
• i.i.d. サンプルのみを用いて、モデル不確実性下でのロバストネスと実行可能性を保証する有限サンプルフレームワークの構築。
• モデル分布が未知または複雑である学習ベースの制御設定においてSMPCの適用を可能にすること。

提案手法

• 加法的擾乱とパrameter ϑ ∼ Pϑ でパrameter化される不確実なダイナミクスを有する線形システムのためのチャンス制約付き確率的MPC問題を定式化する。
• 未知のパラメータ分布 Pϑ および擾乱分布 Pη からのi.i.d. サンプルを用いて、シナリオアプローチを適用し、チャンス制約を決定的最適化問題に再定式化する。
• 所定の違反確率 ε を達成するために必要なシナリオ数の上界を、不確実性空間の次元と信頼水準 β に基づいて導出する。
• シナリオプログラムが実行不能となった場合の最適化問題の実行可能性を確保するため、スラック変数の定式化を採用し、制約違反を抑えるために高いペナルティ重みを設定する。
• 計算的実行可能性を維持しながら閉ループ性能を向上させるために、擾乱に依存するフィードバックポリシーを採用する。
• 理論的分析において、マーコフの不等式を用いて、モデル不確実性が存在する場合の制約違反確率の上限を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 システムのダイナミクスが不確実な場合、システムのサンプル軌道がどれだけ必要になるか、確率的に制約の満たしを保証できるか。
• RQ2 既知の確率分布を仮定せずに、エピステミック不確実性を扱うために、シナリオベースアプローチを効果的に拡張できるか。
• RQ3 モデル不確実性を明示的にサンプリングすることで、モデル不確実性を無視する標準的なSMPCと比較して、MPC予測の信頼性がどのように向上するか。
• RQ4 シナリオベースMPCフレームワークにおいて、シナリオ数を増加させた場合の、閉ループ性能（コスト）と制約違反率のトレードオフは何か。
• RQ5 本手法は、擾乱やパラメータ分布の明示的知識がなくても、閉ループ制御における実行可能性とロバストネスを維持できるか。

主な発見

• 提案されたUD-SMPC手法は、LS-SMPC や GT-SMPC よりも低い経験的違反確率を達成しており、LS-SMPC の約12%の実現が、モデル不確実性が考慮されていないために目標違反レベル ε₁ = 0.1 を超える。
• 目標違反確率 ε₁ = 0.1 の場合、UD-SMPC に必要なシナリオ数は1776であり、LS-SMPC はわずか523であるため、ダイナミクス不確実性の明示的モデリングに起因して、より高いサンプル複雑度を示している。
• 閉ループシミュレーションでは、シナリオ数を増加させること（N ∈ {2⁶, ..., 2¹¹}）で制約違反数が減少し、特にUD-SMPCでは全N値において低い違反率を維持している。
• より多くのシナリオを用いることで閉ループコストは上昇するが、UD-SMPC はLS-SMPC よりもコストと違反率のトレードオフにおいて優れている。
• 高いペナルティ重み（10⁵）を有するスラック変数の使用により、シナリオプログラムが実行不能であっても、最適化における不実行性を効果的に防止し、制約の満たしを保証している。
• 理論的分析により、所望の違反確率を達成するために必要なシナリオ数の有限サンプル境界が提供され、分布の仮定が不要なデータ駆動型および学習ベースの制御文脈への適用が可能である。