[論文レビュー] Schanuel's conjecture and algebraic powers z^w and w^z with z and w transcendental

Diego Marques, Jonathan Sondow|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2010

History and Theory of Mathematics参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

スハヌエルの予想を仮定すると、この論文は、$ z $ および $ w $ が0または1でない超越的複素数であり、かつ $ z^w $ と $ w^z $ が代数的である場合、$ z $ と $ w $ は両方とも超越的でなければならないことを証明する。これは、一方が代数的で他方が超越的である組み合わせが不可能であることを排除する。主な結果には、$ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} $、$ i^{i^i} $、$ i^{e^\pi} $ などの特定の反復累乗の超越性が含まれ、$ \alpha^{\alpha^z} = z $ の解について、代数的 $ \alpha \neq 0,1 $ および無理数 $ z $ の下で、$ z $ が超越的でなければならないことを証明する。

ABSTRACT

We give a brief history of transcendental number theory, including Schanuel's conjecture (S). Assuming (S), we prove that if z and w are complex numbers, not 0 or 1, with z^w and w^z algebraic, then z and w are either both rational or both transcendental. A corollary is that if (S) is true, then we can find four distinct transcendental positive real numbers x, y, s, t such that the three numbers x^y=/=y^x and s^t=t^s are all integers. Another application (possibly known) is that (S) implies the transcendence of the numbers sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2), i^i^i, and i^e^pi. We also prove that if (S) holds and a^a^z=z, where a=/=0 is algebraic and z is irrational, then z is transcendental.

研究の動機と目的

• 複素数の累乗 $ z^w $ と $ w^z $ の算術的性質を、$ z $ と $ w $ が両方とも超越的である場合に調査すること。
• スハヌエルの予想のもとで、$ z $ と $ w $ が超越的であり、$ z^w $ と $ w^z $ が代数的である場合に、両者が同時に代数的になれるかどうかを特定すること。
• 反復指数関数的表現 $ \alpha^{\alpha^z} = z $ が $ z $ の超越性を示す条件を確立すること。
• スハヌエルの予想を用いて、$ e^\pi $、$ i^i $、$ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} $ などの既知の超越数に関する結果を拡張すること。

提案手法

• スハヌエルの予想（S）を仮定する。これは、$ \alpha_1, \dots, \alpha_n $ が $ \mathbb{Q} $ 上で一次独立であるならば、$ \alpha_1, \dots, \alpha_n, e^{\alpha_1}, \dots, e^{\alpha_n} $ が少なくとも $ n $ 個の代数的独立な数を含む、という主張である。
• 代数的数と超越的数の乗法的独立性を用いて、対数および反復対数の代数的独立性を導出する。
• 対数変換 $ w = \log \alpha / \log z $ を適用し、$ z^w $ と $ w^z $ を対数的表現に結びつけ、それらの代数的独立性を分析する。
• 体 $ \mathbb{Q} $ 上の超越度（trdeg）を用いて、$ \alpha, \beta, z, \log \alpha, \log \beta, \log z, \log \log \alpha, \log \log \beta, \log \log z $ を含む集合の代数的独立性を測定する。
• 代数的独立性の矛盾を導出する。具体的には、$ z $ が代数的であるが $ w $ が超越的であると仮定し、$ z^w $ と $ w^z $ が代数的であると仮定した場合に、その対数項の代数的独立性と矛盾が生じる。
• 恒等式 $ z^{-1} \log \beta = \log \log \alpha - \log \log z $ を用いて、(S)のもとで期待される代数的独立性と整合しない不整合を露呈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 もし $ z $ と $ w $ が超越的であり、$ z^w $ と $ w^z $ が代数的であるならば、一方が代数的で他方が超越的であってもよいのだろうか？
• RQ2 スハヌエルの予想は、$ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} $、$ i^{i^i} $、$ i^{e^\pi} $ といった特定の反復指数関数的定数の超越性を示唆するのだろうか？
• RQ3 代数的 $ \alpha \neq 0,1 $ および無理数 $ z $ の下で、方程式 $ \alpha^{\alpha^z} = z $ が代数的解 $ z $ を持つことができるのだろうか？
• RQ4 スハヌエルの予想は、$ z^w $ と $ w^z $ を含む対数的表現の乗法的および代数的独立性にどのような制約を課すのか？

主な発見

• もし $ z $ と $ w $ が超越的であり、$ z^w $ と $ w^z $ が代数的であるならば、$ z $ と $ w $ は両方とも超越的でなければならない。これは、スハヌエルの予想のもとで、代数的と超越的の混合ペアは不可能であることを示す。
• スハヌエルの予想は、$ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} $、$ i^{i^i} $、$ i^{e^\pi} $ の超越性を示唆する。これらの表現は、(S)のもとで代数的独立性と矛盾を引き起こすためである。
• スハヌエルの予想のもとで、$ x^y \neq y^x $ かつ $ s^t = t^s $ がともに整数となるような、超越的正実数 $ x, y, s \neq t $ が存在する。
• 代数的 $ \alpha \neq 0 $ で $ \alpha^{\alpha^z} = z $ であり、$ z $ が無理数である場合、スハヌエルの予想のもとで $ z $ は超越的でなければならない。
• 証明は、集合 $ \{ \log \alpha, z \log \alpha, \alpha^z \log \alpha \} $ が $ \mathbb{Q} $ 上で一次独立であることを示すことに依存しており、(S)のもとで超越度の矛盾を引き起こす。
• 矛盾は、$ z $ が代数的だが $ \alpha^z $ が超越的であると仮定した場合に生じる。このとき、超越度は少なくとも3以上であるが、体拡大の次数は最大2であるため、スハヌエルの予想に反する。