[論文レビュー] Scheduling Meets Fixed-Parameter Tractability

Matthias Mnich, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2013

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、マックススパン最小化、ジョブ依存コスト関数（例：重み付きフローチャイム）を伴うスケジューリング、およびリジェクトを伴うスケジューリングを含む、基本的なスケジューリング問題における最初の固定パラメータ可 tractable (FPT) アルゴリズムを提示する。著者たちは、異なる処理時間の数やリジェクトコストをキーとなるパラメータとして特定し、これらの問題を固定次元の整数計画法に還元することで、通常FPTアプローチを妨げる数値入力値が存在するにもかかわらず、FPTアルゴリズムを可能にする。主な貢献は、新しいパラメータ化に基づく古典的NP困難スケジューリング問題に対するFPTアルゴリズムの確立であり、これらのパラメータがタイトであることを示すW[1]-ハードネス結果を併せて提示している。

ABSTRACT

Fixed-parameter tractability analysis and scheduling are two core domains of combinatorial optimization which led to deep understanding of many important algorithmic questions. However, even though fixed-parameter algorithms are appealing for many reasons, no such algorithms are known for many fundamental scheduling problems. In this paper we present the first fixed-parameter algorithms for classical scheduling problems such as makespan minimization, scheduling with job-dependent cost functions-one important example being weighted flow time-and scheduling with rejection. To this end, we identify crucial parameters that determine the problems' complexity. In particular, we manage to cope with the problem complexity stemming from numeric input values, such as job processing times, which is usually a core bottleneck in the design of fixed-parameter algorithms. We complement our algorithms with W[1]-hardness results showing that for smaller sets of parameters the respective problems do not allow FPT-algorithms. In particular, our positive and negative results for scheduling with rejection explore a research direction proposed by Dániel Marx. We hope that our contribution yields a new and fresh perspective on scheduling and fixed-parameter algorithms and will lead to further fruitful interdisciplinary research connecting these two areas.

研究の動機と目的

• 古典的スケジューリング問題に対する固定パラメータ可 tractable (FPT) アルゴリズムの欠如に取り組むこと。これは、それらの問題が重要であり実用的関連性を持つにもかかわらずである。
• 処理時間、重み、リジェクトコストなどの数値入力値が、強いNP困難性によりFPTアルゴリズムを妨げるという挑戦に立ち向かうこと。
• 処理時間の異なる値の数やリジェクトコストの異なる値の数といった、最小限で意味のあるパラメータを同定し、基本的スケジューリング問題をFPTにすること。
• FPTの肯定的結果とW[1]-ハードネスの下界を両方確立することで、選択したパラメータがタイトであることを示すこと。
• スケジューリング理論と固定パラメータ可 tractability を結ぶ、新しい学際的研究分野を開くこと。

提案手法

• 同一マシン上のマックススパン最小化に対して、著者たちは同じ長さのジョブをマシン間でほぼ均等に分配できることを示し、問題を固定パラメータ形式に還元する前処理ステップを可能にする。
• 残りのスケジューリング意思決定は、各サイズのジョブが各マシンにどれだけ割り当てられるかを表す変数を用いた固定次元の整数計画法としてモデル化される。
• 非同一マシンの場合、パラメータ化にはマシン数と異なる処理時間の数が含まれ、ハルの定理から導かれる制約によって、妥当なジョブ割り当てが保証される。
• 指数的多数の部分集合チェックを置き換えるために、コンパクトなハル型制約の集合が用いられ、効率的なFPTアルゴリズムを可能にする。
• リジェクト付きスケジューリングのため、著者たちは異なるリジェクトコストの数に基づくパラメータを用い、問題を構造的利得関数を伴うナップサック問題の変種に還元する。
• このアプローチは一般スケジューリング問題（GSP）へと拡張され、ジョブインデックスの2進表現を用いた3次元マッチングへの還元により、処理時間が1または3に制限された場合でさえNP困難であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 処理時間の異なる値の数やジョブの重みをパラメータとして用いた場合、マックススパン最小化や重み付きフローチャイムといった古典的スケジューリング問題は、固定パラメータ可 tractable 時間で解けるか？
• RQ2 数値入力値が存在するにもかかわらず、リジェクトコストの異なる値の数をパラメータとして用いた場合、リジェクト付きスケジューリングはFPTか？
• RQ3 スケジューリング問題に対するFPTアルゴリズムを可能にする最小のパラメータ集合は何か？ また、より小さいパラメータ集合がW[1]-ハードネスを引き起こすことを証明できるか？
• RQ4 異なる処理時間の数は、非同一マシンスケジューリングにおいてFPTアルゴリズムを達成するのに十分なパラメータとなるか？
• RQ5 処理時間が1または3に制限された場合、一般スケジューリング問題（GSP）は、プリエンプティブでない設定においてもNP困難か？

主な発見

• 本論文は、異なる処理時間の数をパラメータとして用いた同一マシン上のマックススパン最小化に対する最初のFPTアルゴリズムを提示し、実行時間はf(k)·n^O(1)である。
• 非同一マシンの場合、マシン数と異なる処理時間の数の両方をパラメータとして用いた問題R||C_maxは、固定次元整数計画法の定式化によりFPTである。
• リジェクト付きスケジューリングは、異なるリジェクトコストの数をパラメータとして用いた場合、構造的ナップサックに類似した問題への還元によりFPTである。
• 著者たちは、より小さいパラメータ集合でパラメータ化したすべての問題に対してW[1]-ハードネスを証明し、選択したパラメータがタイトであることを示している。
• 一般スケジューリング問題（GSP）は、すべてのジョブの処理時間が1または3に制限された場合でさえNP困難であることが示され、制限されたが自然なケースにおける強いハードネス結果を確立した。
• 本論文は、非プリエンプティブですべてのジョブがスケジュールされる標準形の解が、問題をパラメータ化された設定に還元するために使用できることを確立しており、プリエンプティブおよび非プリエンプティブ両方のバージョンに対してFPTアルゴリズムを可能にする。