[論文レビュー] Scheduling of unit-length jobs with bipartite incompatibility graphs on four uniform machines

Hanna Furmańczyk, Marek Kubale|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、4台の均一なマシン上で単位長のジョブを、二部グラフによる排他制約（衝突するジョブは同じマシンで実行できない）を満たすようにスケジューリングすることを検討する。特定の速度設定において、多項式時間アルゴリズムを提示する：$s_1 \geq 12s_2$ かつ $s_2 = s_3 = s_4$ の場合、最適な $O(n^{1.5})$ 時間アルゴリズムが得られ、$s_1 \geq s_2 \geq s_3 = s_4$ の場合、$\Delta \leq 4$ の制約のもとで $32/15$-近似アルゴリズムが $O(n^{1.5})$ 時間で得られる。3台のマシンが同じ速度である場合でさえ、問題はNP困難である。

ABSTRACT

In the paper we consider the problem of scheduling $n$ identical jobs on 4 uniform machines with speeds $s_1 \geq s_2 \geq s_3 \geq s_4,$ respectively. Our aim is to find a schedule with a minimum possible length. We assume that jobs are subject to some kind of mutual exclusion constraints modeled by a bipartite incompatibility graph of degree $Δ$, where two incompatible jobs cannot be processed on the same machine. We show that the problem is NP-hard even if $s_1=s_2=s_3$. If, however, $Δ\leq 4$ and $s_1 \geq 12 s_2$, $s_2=s_3=s_4$, then the problem can be solved to optimality in time $O(n^{1.5})$. The same algorithm returns a solution of value at most 2 times optimal provided that $s_1 \geq 2s_2$. Finally, we study the case $s_1 \geq s_2 \geq s_3=s_4$ and give an $O(n^{1.5})$-time $32/15$-approximation algorithm in all such situations.

研究の動機と目的

• 4台の均一なマシン上で、互いに排他的な制約（二部グラフとしてモデル化された）を満たす $n$ 個の同一の単位長ジョブのスケジューリングを扱う。
• さまざまなマシン速度設定における問題の計算量的複雑性を特定する。
• 特定の速度比と有界な不適合度（$\Delta \leq 4$）の下で、効率的な多項式時間アルゴリズムを設計する。
• 最適解が計算的に困難な場合の近似保証を提供する。
• モデルを4台以上のマシンへ拡張し、その一般化可能性を分析する。

提案手法

• スケジューリング問題を、各色クラスがマシンの負荷に対応する二部グラフの4色割り当て問題としてモデル化する。
• 負荷のバランスを最適化し、最大負荷を最小化するために、均等および準均等な色割り当て技術を用いる。
• 2段階のアルゴリズムを適用する：まず、$\Delta \leq 4$ の二部グラフに対する均等4色割り当てを、ChenとYen（2004）の既知の結果を用いて求める。
• 色クラスをサイズの降順に並べ、マシンの速度の降順に割り当てることで、スケジューリングの完了時刻を最小化する。
• 速度比 $s_2/s_3$ に応じて2つの戦略を切り替えるユニバーサルアルゴリズムを設計する：$s_2 > 3s_3$ の場合はアルゴリズム2を、$s_2 \leq 3s_3$ の場合はアルゴリズム3を用い、$32/15$-近似を保証する。
• 速度比 $s_1 \geq 12s_2$ かつ $s_2 = s_3 = s_4$ の下では、最初のマシンが最適な完了時刻を損なわずに全負荷を処理できることを利用し、マッチングに基づく分解により最適スケジューリングが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位長ジョブ、二部グラフによる不適合性、4台の均一なマシンを想定したスケジューリング問題は、任意の速度設定においてNP困難か？
• RQ2 $s_1 \geq 12s_2$ かつ $s_2 = s_3 = s_4$ の場合、$\Delta \leq 4$ の下で、最適解を多項式時間で得られるか？
• RQ3 $s_1 \geq s_2 \geq s_3 = s_4$ かつ $\Delta \leq 4$ の場合、スケジューリング問題の近似比はどの程度保証できるか？
• RQ4 速度比 $s_2/s_3$ が閾値を超えて増加する際、提案アルゴリズムの性能はどのように劣化するか？
• RQ5 本結果は、同様の速度および不適合性制約を満たす4台以上のマシンへ一般化可能か？

主な発見

• $s_1 = s_2 = s_3$ の場合でさえ、問題はNP困難であることが示され、対称的な速度設定下でも本質的な計算困難性を有する。
• $s_1 \geq 12s_2$ かつ $s_2 = s_3 = s_4$ の場合、最大次数 $\Delta \leq 4$ のグラフに対して、マッチングに基づく二部グラフの分解を活用し、$O(n^{1.5})$ 時間で最適解を計算可能である。
• $s_1 \geq 2s_2$ かつ $s_2 = s_3 = s_4$ の場合、同じアルゴリズムにより最適完了時刻の2倍以内の解が保証される。
• $s_1 \geq s_2 \geq s_3 = s_4$ の場合、2つの戦略を統合したユニバーサルアルゴリズムにより、$O(n^{1.5})$ 時間で $32/15 \approx 2.133$-近似が達成される。
• 最悪ケースにおいて近似比がタイトであることが示され、$32/15$ に近づくインスタンスが構築可能である。
• $m > 4$ 台のマシンへも結果を拡張可能である：$s_1 \geq m(m+1)s_2$ かつ $s_2 = \cdots = s_m$ の下で、$\Delta \leq m$ の制約のもとで最適アルゴリズムが存在し、$O(n^{1.5})$ 時間で実行可能である。