[論文レビュー] Scheduling of unit-length jobs with cubic incompatibility graphs on three uniform machines

Hanna Furmańczyk, Marek Kubale|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2015

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、各ジョブが他の3つのジョブと衝突する立方体型の非適合性グラフをもつ3台の均一なマシン上で単位長のジョブをスケジューリングすることを研究している。2色グラフに対してはO(n²)時間のアルゴリズムを提示し、3色グラフに対してはO(n³)時間の4/3近似アルゴリズムを提示している。これは3s₁/4 ≤ s₂ = s₃のとき、ほとんど確実に最適である。

ABSTRACT

In the paper we consider the problem of scheduling $n$ identical jobs on 3 uniform machines with speeds $s_1, s_2,$ and $s_3$ to minimize the schedule length. We assume that jobs are subjected to some kind of mutual exclusion constraints, modeled by a cubic incompatibility graph. We show that if the graph is 2-chromatic then the problem can be solved in $O(n^2)$ time. If the graph is 3-chromatic, the problem becomes NP-hard even if $s_1>s_2=s_3$. However, in this case there exists a $4/3$-approximation algorithm running in $O(n^3)$ time. Moreover, this algorithm solves the problem almost surely to optimality if $3s_1/4 \leq s_2 = s_3$.

研究の動機と目的

• 相互排他制約が立方体型非適合性グラフでモデル化されたn個の同一の単位長ジョブを3台の均一なマシン上でスケジューリングすること。
• 非適合性グラフの彩色数に基づいて問題の計算複雑性を特定すること。
• 2色グラフおよび3色グラフの立方体型グラフに対して、性能保証を伴う効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 提案された近似アルゴリズムが高確率で最適解を達成する条件を確立すること。
• モデルを非連結な立方体型グラフに拡張し、そのような場合における最適スケジューリングの可能性を分析すること。

提案手法

• 2色グラフの場合、立方体型グラフの均等2色分割に基づく多項式時間アルゴリズムを用い、このようなグラフが二部グラフでかつサイズが等しい部分集合を持つことを利用する。
• 3色グラフの場合、グリーディー手法により大きな独立集合を最初に特定し、その後、頂点交換手順を用いてそれを準均等彩色に変換する4/3近似アルゴリズムを適用する。
• FKRアルゴリズム（Furmańczyk-Kubale-Radziszowski）を用い、独立集合間の頂点を反復的に交換することで彩色を改善し、負荷分散を均等に保証する。
• マシン速度s₁, s₂, s₃を用いてスケジュール長を分析し、C_max = max{P_i(I_i)}を最小化することを目的とする。ここでP_i(I_i) = |I_i|/s_iである。
• 独立数の境界と均等彩色の性質から導かれる不等式を用いて、アルゴリズムのスケジュール長を最適C_max*と比較し、性能境界を確立する。
• FriezeとSuenの確率的結果を活用し、ランダムな立方体型グラフにおける大きな独立集合の存在を証明し、特定の速度比下でほぼ確実に最適性が達成されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非適合性グラフが2色の場合、単位長ジョブと立方体型非適合性グラフをもつスケジューリング問題は多項式時間で最適に解けるか？
• RQ2 非適合性グラフが3色の場合、問題の計算複雑性は何か？また、どのような条件下でNP困難となるか？
• RQ3 3台の均一なマシン上で3色立方体型グラフに対して4/3近似アルゴリズムを設計可能か？その時間計算量は何か？
• RQ4 どのような速度条件の下で、近似アルゴリズムが高確率で最適解を返すか？
• RQ5 アルゴリズムを非連結な立方体型グラフに拡張できるか？その場合の計算複雑性は何か？

主な発見

• 非適合性グラフが2色の場合、問題はO(n²)時間で解ける。これは、そのようなグラフが二部グラフであり、均等2色分割が可能であるためである。
• 非適合性グラフが3色の場合、問題はNP困難になる。これは、立方体型グラフにおける均等3色分割の本質的複雑性に起因する。s₁ > s₂ = s₃であっても同様である。
• 3色グラフに対してO(n³)時間の4/3近似アルゴリズムが提案され、最適スケジュール長の4/3倍以内の解を保証する。
• 3s₁/4 ≤ s₂ = s₃のとき、アルゴリズムは高確率で最適解を返す。これは、ほぼすべての立方体型グラフで大きさ≥0.432nの独立集合が存在するためである。
• 独立数と均等彩色の境界を用いることで、s₁ > 0であれば速度比にかかわらず4/3の性能保証が成立する。アルゴリズムのスケジュール長と最適値の比が有界である。
• アルゴリズムは非連結な立方体型グラフに拡張可能である。2色の場合にはアルゴリズム1、3色の場合にはアルゴリズム2を適用でき、それぞれO(n²)およびO(n³)時間で実行される。