[論文レビュー] Scheduling to Minimize Total Weighted Completion Time via Time-Indexed Linear Programming Relaxations

Shi Li|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時間インデックス付き線形計画法緩和を用いて、総加重完了時間を最小化するスケジューリング問題に対する改善された近似アルゴリズムを提示している。非同一マシン環境においては、(1.5−c)-近似を得ており、最近の画期的結果と同等の性能を達成しているが、より単純で直感的なLP緩和を用いている。この手法は、分数スケジューリングを活用して分析を精緻化し、先行順序制約付きおよび関連するマシンモデルにおける長年の近似の壁を打ち破った。

ABSTRACT

We study approximation algorithms for scheduling problems with the objective of minimizing total weighted completion time, under identical and related machine models with job precedence constraints. We give algorithms that improve upon many previous 15 to 20-year-old state-of-art results. A major theme in these results is the use of time-indexed linear programming relaxations. These are natural relaxations for their respective problems, but surprisingly are not studied in the literature. We also consider the scheduling problem of minimizing total weighted completion time on unrelated machines. The recent breakthrough result of [Bansal-Srinivasan-Svensson, STOC 2016] gave a $(1.5-c)$-approximation for the problem, based on some lift-and-project SDP relaxation. Our main result is that a $(1.5 - c)$-approximation can also be achieved using a natural and considerably simpler time-indexed LP relaxation for the problem. We hope this relaxation can provide new insights into the problem.

研究の動機と目的

• さまざまなマシンモデルにおける総加重完了時間目的関数をもつスケジューリング問題に対する改善された近似アルゴリズムの開発。
• 先行順序制約と非一様なジョブサイズを伴うスケジューリング問題における、長年の近似の進展の欠如に対処すること。
• 従来あまり注目されていなかった時間インデックス付きLP緩和が、強力な近似保証をもたらす可能性を示すこと。
• 非同一マシン環境において、従来は複雑なリフト・アンド・プロジェクションSDP緩和によってのみ達成可能であった(1.5−c)-近似を、自然なLP緩和を用いて達成または上回ること。
• より単純で直感的なLP定式化を通じて、重み付き完了時間スケジューリングの構造に関する新たな知見を提供すること。

提案手法

• ジョブがマシンおよび時間スロットに割り当てられる分数処理時間を有する時間インデックス付き線形計画法緩和を定式化する。
• 分数解を基に、$ C_j - p_j/2 $ 値に基づいて優先順位を付けるジョブ駆動型リストスケジューリングアルゴリズムを適用する。
• 期待完了時間を制限するため、確率的解析を用いた確率的ラウンドリングスキームを適用する。
• スケジューリングの競合や遅延の確率を分析するために、ジョブ間の負の相関関係を導入する。
• 異なるジョブサイズの寄与を制限するために、区間分解と幾何的グループ化（例：$ 2^a $-レベル区間）を用いる。
• マシン固有の事象について条件付き期待値を外して、全般的な期待完了時間の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間インデックス付きLP緩和は、総加重完了時間スケジューリングにおける既存の近似アルゴリズムを上回るか、簡略化できるか？
• RQ2 複雑なSDP手法に代えて、自然なLP緩和を用いて非同一マシン環境で(1.5−c)-近似を達成することは可能か？
• RQ3 分数スケジューリング解は、既存の近似アルゴリズムの解析をどのように改善できるか？
• RQ4 先行順序制約は、より良い近似比の達成を制限するか、あるいは可能にするか？
• RQ5 近似保証を維持したまま、スケジューリングにおける超多項式時間範囲を効率的に処理できるか？

主な発見

• 非同一マシン環境において、時間インデックス付きLP緩和を用いて(1.5−c)-近似アルゴリズムを達成した。これは、より複雑なSDP手法によって得られた既存の最良結果と同等の性能である。
• 時間インデックス付きLP緩和が強力で、かつあまり活用されていないことが示され、リフト・アンド・プロジェクションSDP緩和のより単純な代替手段であることが明らかになった。
• 同一マシンで先行順序制約がある場合、Hallらの7-近似およびMunierらの4-近似を上回ったが、新しい正確な近似比は明示的に示されていない。
• 解析により、分数解が従来のアルゴリズムにおける緩い上限を特定・是正でき、よりタイトな性能保証をもたらすことが明らかになった。
• 超多項式時間範囲を効率的に処理するため、先行研究の技術を適応し、多項式時間で解けることを保証した。
• 各ジョブの期待完了時間は、$ (1.5 - 1/6000)( ext{LP完了時間}) $ で抑えられ、$ (1.5 - 1/6000) $-近似が証明された。