[論文レビュー] Scheduling with a processing time oracle

Fanny Dufossé, Christoph Dürr+3 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2020

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、ジョブの処理時間が初期には未知であり、短い（p）か長い（p+x）かのいずれかであるが、処理時間オラクル（1回のクエリにつき1時間単位のコストを伴う）に問い合わせることでしか値を明らかにできない単一マシンスケジューリング問題を研究している。目的は、完全な情報が得られた場合の最適コストに対するスケジュールコストの比である競合比を最小化することである。著者らは、動的計画法および可能結果のグリッド上の境界パス計算を用いて、最小の競合比を達成する2段階戦略（まずジョブをテストし、その後無知にスケジューリングする）を用いた、適応的および非適応的モデルの両方において最適な多項式時間アルゴリズムを提示している。

ABSTRACT

In this paper we study a single machine scheduling problem with the objective of minimizing the sum of completion times. Each of the given jobs is either short or long. However the processing times are initially hidden to the algorithm, but can be tested. This is done by executing a processing time oracle, which reveals the processing time of a given job. Each test occupies a time unit in the schedule, therefore the algorithm must decide for which jobs it will call the processing time oracle. The objective value of the resulting schedule is compared with the objective value of an optimal schedule, which is computed using full information. The resulting competitive ratio measures the price of hidden processing times, and the goal is to design an algorithm with minimal competitive ratio. Two models are studied in this paper. In the non-adaptive model, the algorithm needs to decide beforehand which jobs to test, and which jobs to execute untested. However in the adaptive model, the algorithm can make these decisions adaptively depending on the outcomes of the job tests. In both models we provide optimal polynomial time algorithms following a two-phase strategy, which consist of a first phase where jobs are tested, and a second phase where jobs are executed obliviously. Experiments give strong evidence that optimal algorithms have this structure. Proving this property is left as an open problem.

研究の動機と目的

• ジョブの処理時間が非表示であり、コストの高いオラクルクエリのみで値が明らかになる状況下で、競合比を最小化するアルゴリズムの設計。
• 以前の結果に基づいてどのジョブをテストするかを決定できる適応的アルゴリズムと、そうでない非適応的戦略の性能を比較すること。
• 完全な情報が得られた場合の最適スケジュールに対する完了時間の合計を最小化するために、最適なテストジョブ数を特定すること。
• 最適アルゴリズムが常に2段階構造（まずジョブをテストし、その後追加のクエリなしにスケジューリングする）に従うかどうかを証明または反証すること。

提案手法

• 競合比は、アルゴリズムのスケジュールコストを完全情報下での最適コストで割ったものであり、この問題は競合分析フレームワークとしてモデル化される。
• 2段階戦略を仮定する：まずジョブの部分集合をテストし、次に得られた情報をもとに、テスト済みおよび未テストのジョブを追加のクエリなしでスケジューリングする。
• 各セル (c,d) が c 個のテスト済み短いジョブと d 個のテスト済み長いジョブを表すグリッドベースの動的計画法を用いて最適戦略を計算する。
• 競合比を最小化するグリッド上の境界パスを計算するための手続きを用い、セルをマークし、反復的に停止比 R* を改善する。
• 適応的モデルでは、最適な敵戦略を用いて最小競合比を計算し、最適アルゴリズムはこのパスに従う。
• 実験では、n=10 までのジョブに対して、p と x を一様に抽出した値を用いて、2段階構造の有効性とアルゴリズムの性能を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 隠れた処理時間を有する単一マシンスケジューリングにおいて、適応的および非適応的モデルで達成可能な最小競合比は何か？
• RQ2 すべての最適アルゴリズムが、適応性にかかわらず、まずジョブをテストし、その後無知にスケジューリングする2段階戦略に従うのか？
• RQ3 適応的利点（非適応的と適応的競合比の差）は、p と x にどのように依存するか？
• RQ4 最適戦略は効率的に計算可能か？ 提案されたアルゴリズムの時間計算量は何か？
• RQ5 2段階構造は適応的モデルでも最適であるか？ もしくは、より複雑な戦略がそれを上回る例外は存在するか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、2段階戦略を用いて、適応的および非適応的モデルの両方で最小競合比を達成しており、理論的時間計算量は O(n³)、実用的時間計算量は O(n²) である。
• 最大10ジョブまでの実験では、2段階仮説の反例は得られず、その最適性について強い実証的証拠が得られた。
• 適応的利点は小さく、約2％にとどまり、この設定では適応的判断が非適応的戦略に比べて限定的な改善をもたらすことが示された。
• 競合比は x（短いジョブと長いジョブの差）が大きいほど、p（短いジョブの所要時間）が小さいほど上昇し、p が増加するにつれて 1 に近づく傾向を示す。
• 適応的モデルでは、多くの均衡スケジュールが (Tx)* (Tp)* (Ex)* (Ep)* のパターンに従うが、n が大きい場合には例外も存在し、これによりさらなる最適化のための単純な構造は利用できないことが示唆された。
• 非適応的モデルでは、(x,p) 空間においてテスト数が一定である連結領域が観察されるが、適応的モデルではこのような領域は非連結であるため、より複雑な意思決定境界が存在することが示された。