[論文レビュー] Scheduling with Locality by Routing

Liu, Alison Hsiang-Hsuan, Liu, Fu-Hong|arXiv (Cornell University)|May 11, 2014

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、各ジョブを処理可能なマシンの最小割合（「適合性要因」として定義される）が大きいインスタンスに対して、実行可能時間内に実行可能時間の最小化のための多項式時間アルゴリズムを提示する。適合性要因が大きいインスタンスでは、古典的な2-近似解法よりも改善された近似比を達成する。二部グラフにおける増加パスを用いたマシン負荷のバランス調整により、実行可能時間の上限を T + L/h < 2T に抑え、特に高い適合性を持つインスタンスでは、古典的な2-近似法を著しく上回る。さらに、制限付き割り当て問題に対しては、1 + q/h の近似比を達成する。

ABSTRACT

This work examines a strongly NP-hard routing problem on trees, in which multiple servers need to serve a given set of requests (on vertices), where the routes of the servers start from a common source and end at their respective terminals. Each server can travel free of cost on its source-to-terminal path but has to pay for travel on other edges. The objective is to minimize the maximum cost over all servers. As the servers may pay different costs for traveling through a common edge, balancing the loads of the servers can be difficult. We propose a polynomial-time 4-approximation algorithm that applies the parametric pruning framework but consists of two phases. The first phase of the algorithm partitions the requests into packets, and the second phase of the algorithm assigns the packets to the servers. Unlike the standard parametric pruning techniques, the challenge of our algorithm design and analysis is to harmoniously relate the quality of the partition in the first phase, the balances of the servers' loads in the second phase, and the hypothetical optimal values of the framework. For the problem in general graphs, we show that there is no algorithm better than 2-approximate unless P = NP. The problem is a generalization of unrelated machine scheduling and other classic scheduling problems. It also models scheduling problems where the job processing times depend on the machine serving the job and the other jobs served by that machine. This modeling provides a framework that physicalizes scheduling problems through the graph’s point of view.

研究の動機と目的

• 20年以上にわたり進展のなかった、非同一マシンにおける実行可能時間最小化の古典的2-近似境界を改善すること。
• 適合性要因が大きいという特徴を持つ、広範なスケジューリングインスタンスのサブクラスにおいて、より緊密な近似比が達成可能であることを特定すること。
• 実行不能であることを示すか、または実行可能時間が厳密に2T未満であるスケジュールを計算する多項式時間アルゴリズムの開発。
• 制限付き割り当て問題の近似比を、高い適合性を持つインスタンスにおいて33/17 + ε よりも改善すること。
• 解空間の二分探索を避けることで、従来のフローに基づく手法よりも効率的なアルゴリズムの開発。

提案手法

• 適合性要因 h を、各ジョブを処理可能なマシンの最小割合として定義し、インスタンスの適合性に基づく分類を可能にする。
• 線形計画緩和と丸め手法を用い、実行可能時間の上限が T + L/h 以内となるスケジュールを導出する。ここで L はマシンの平均終了時間である。
• マシン-ジョブの割り当てと増加パスを表す二部グラフ Gα(w) を構築する。
• Gairing らの UBF アルゴリズムを適用し、過負荷マシン（M+）から低負荷マシン（M−）へ、増加パスを介してジョブを反復的に再割り当てする。
• 負荷が L/h および w = pmax に基づき、マシンを M−、M0、M+ に分割し、再割り当てプロセスをガイドする。
• 平均負荷と適合性要因 h に基づく背理法を用いて、M+ = ∅ となることを証明し、収束を保証する。これにより、低実行可能時間のスケジュールが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非同一マシンスケジューリングにおける古典的2-近似境界は、広範なインスタンスサブクラスにおいて改善可能か？
• RQ2 高い適合性要因 h は、一般の2-近似法に比べて、どれほど緊密な実行可能時間境界を可能にするか？
• RQ3 制限付き割り当て問題は、高い適合性を持つインスタンスにおいて、33/17 + ε よりも良い近似比を達成可能か？
• RQ4 制限付きスケジューリングにおいて、近似的に最適な実行可能時間を達成するための、二分探索ベースの手法よりも効率的なアルゴリズムは存在するか？
• RQ5 適合性要因 h が持つ構造的性質は、スケジューリングにおけるより良い近似保証を可能にするか？

主な発見

• 適合性要因 h ≥ L/T を満たす任意のインスタンスに対して、本アルゴリズムは実行可能時間の上限が T + L/h < 2T 以内となるスケジュールを計算する。これは古典的な2-近似法を改善する。
• 制限付き割り当て問題において、本アルゴリズムは (1 + q/h)-近似比を達成する。ここで q = L/pmax であり、h > q のとき、これは2未満となる。
• 本アルゴリズムは O(mS) 時間で実行可能であり、S = Σj |{i : pij < ∞}| である。Gairing らの二分探索ベースの手法（O(mS log W)）よりも高速である。
• 正しさの証明は、M+ が空でない場合、平均負荷が L を超えることにより、アルゴリズムの不変条件に反するという背理法に依拠する。
• 適合性要因 h は、より緊密な境界を可能にする重要なパラメータであり、h が大きいほど、著しく改善された近似比が得られる。
• 本手法は、Svensson の 33/17 + ε の境界を、制限付きケースにおいて、1 + q/h のより良い比に改善する。