[論文レビュー] Scheduling with two non-unit task lengths is NP-complete

Jan Elffers, Mathijs de Weerdt|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、2つの非単位ジョブ長とリリース時間／デッドラインを伴う非プリエンプティブ単一マシンスケジューリング問題が強いかつNP完全であることを証明し、未解決問題を解決している。証明は、各ジョブペアが少なくとも1つのジョブを早期デッドラインまでにスケジューリングする必要があるという補助スケジューリング問題（AUX(p,q)）への多項式時間還元に基づく。その後、ジョブ長の変換によりこの補助問題が元の問題にマッピングされ、固定された非単位長でも計算困難性が示された。

ABSTRACT

The non-preemptive job scheduling problem with release times and deadlines on a single machine is fundamental to many scheduling problems. We parameterize this problem by the set of job lengths the jobs can have. The case where all job lengths are identical is known to be solvable in polynomial time. We prove that the problem with two job lengths is NP-complete, except for the case in which the short jobs have unit job length, which was already known to be efficiently solvable. The proof uses a reduction from satisfiability to an auxiliary scheduling problem that includes a set of paired jobs that each have both an early and a late deadline, and of which at least one should be scheduled before the early deadline. This reduction is enabled by not only these pairwise dependencies between jobs, but also by dependencies introduced by specifically constructed sets of jobs which have deadlines close to each other. The auxiliary scheduling problem in its turn can be reduced to the scheduling problem with two job lengths by representing each pair of jobs with two deadlines by four different jobs.

研究の動機と目的

• 非プリエンプティブ単一マシンスケジューリング問題において、正確に2つの非単位ジョブ長を持つ場合の計算複雑性という未解決問題を解明すること。
• ジョブ長が1より大きい固定整数であっても、問題が依然としてNP完全のままであることを確立すること。
• ユニットジョブ長と非ユニットジョブ長を含む場合が唯一の tractable なケースであることを示し、{q,2q}に対して擬似多項式時間解法が存在するとの従来の主張とは対照的であること。
• ペアドジョブが早期／遅延デッドラインを持つ補助スケジューリング問題の形式的定式化とNP完全性の証明

提案手法

• ブール充足可能性問題（SAT）から、各ジョブペアが少なくとも1つのジョブをその早期デッドラインまでにスケジューリングする必要がある補助スケジューリング問題（AUX(p,q)）への還元。
• 変数と節の論理的依存関係を符号化するため、特定のリリース時刻、デッドライン、処理時間を有するジョブブロックの構築。
• ペアド保留ジョブと遅延スケジューリングブロックの使用により、リテラルの真偽値がその保留ジョブが早期に完了するか遅延に完了するかによって決定されることを強制。
• AUX(p,q)内の各ジョブペアを、長さpとqの4つのジョブに変換することで、補助問題を2つの固定非単位長を持つ元のスケジューリング問題にマッピング。
• 補助問題がSAT還元によりNP完全であることを証明し、かつそれが元の問題への多項式時間還元可能であることを示した。
• アイドル時間の伝播やデッドラインの整合性といった構造的制約を用いて、充足可能なSAT割り当てのみが妥当なスケジュールを生成することを保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの固定非単位ジョブ長を持つ非プリエンプティブ単一マシンスケジューリング問題はNP完全か？
• RQ2 {1,p}の場合をq>1の{q,p}に一般化しても、 tractability は保たれるか？
• RQ3 非ユニット短いジョブ長の存在が、ユニット長の場合と比較して問題の複雑性に根本的な影響を及えるか？
• RQ4 {q,2q}ケースに対して、以前に主張された擬似多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ5 2つの非ユニットジョブ長を持つスケジューリング問題は、既知の tractable な形式に還元可能か？

主な発見

• 長さp > q > 1の2つの非ユニットジョブ長を持つスケジューリング問題は、強いかつNP完全である。これはスケジューリング理論における未解決問題を解決するものである。
• 証明により、1より大きい固定定数のジョブ長であっても、問題が依然として計算的に困難であることが示された。
• 早期デッドラインと遅延デッドラインを持つペアドジョブを含む補助問題AUX(p,q)は、SAT還元によりNP完全であることが証明された。
• AUX(p,q)から元の問題への還元は多項式時間であり、妥当性を保ったまま行われ、元の問題のNP完全性が確立された。
• この結果は、{q,2q}ケースに対して擬似多項式時間解法が存在するとの従来の主張と矛盾しており、P=NPでない限りそのようなアルゴリズムは存在しないことを示した。
• 唯一の tractable なケースは、ジョブ長の1つがユニット（1）である場合であり、{1,p}ケースでは線形計画法による定式化が可能で、ユニットジョブを実質的にプリエンプティブに扱える。