[論文レビュー] Schematic HN stratification for families of principal bundles and lambda modules

Sudarshan Gurjar, Nitin Nitsure|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特徴が0の曲線上の主G束の族に対して、スケマティックなハードラー＝ナラシンハン（HN）層化を確立し、各HN層化が普遍性を持つ局所的に閉じた部分スキームであることを証明する。さらに、任意の次元および混合特徴における純粋な$Λ$-加群の平坦族へと一般化し、固定されたHN型を持つ$Λ$-加群がアーティンスタックをなすことを示す。

ABSTRACT

For a family of principal bundles with a reductive structure group on a family of curves in characteristic zero, it is known that the Harder Narasimhan type of its restriction to each fiber varies semicontinuously over the parameter scheme of the family. This defines a stratification of the parameter scheme by locally closed subsets, known as the Harder-Narasimhan stratification. In this note, we show how to endow each Harder-Narasimhan stratum with the structure of a locally closed subscheme of the parameter scheme, which enjoys the universal property that under any base change the pullback family admits a relative Harder-Narasimhan reduction with a given Harder-Narasimhan type if and only if the base change factors through the schematic stratum corresponding to that Harder-Narasimhan type. This has the consequence that principal bundles of a given Harder Narasimhan type form an Artin stack. We also prove a similar result showing the existence of a schematic Harder-Narasimhan filtration for flat families of pure sheaves of $Λ$-modules (in the sense of Simpson) in arbitrary dimensions and in mixed characteristic, generalizing the result for sheaves of ${\mathcal O}$-modules proved earlier by Nitsure. This again has the implication that $Λ$-modules of a fixed Harder-Narasimhan type form an Artin stack.

研究の動機と目的

• 特徴が0の曲線上の主G束の族のHN層化にスケマティック構造を構成すること。
• 各HN層化が普遍性を持つことの証明：引き戻し族が一定のHN型を持つときかつそのときに限り、底変換がそれらを通る。
• スケマティックHN層化を、任意の次元および混合特徴における、射影的スキーム上の純粋な$Λ$-加群の平坦族へ一般化すること。
• 固定HN型を持つ$Λ$-加群の部分スタックが代数スタックであることを示すこと。これは$Λ = Ó$の場合のニツェの結果を拡張する。
• 適切な条件下で、このようなスタックの有界性と、有限型のアトラスの存在を確立すること。

提案手法

• 標準的還元を用いて、正のワイル・チェンバ$τ \subset \mathbb{Q} \otimes X_*(T)$内にHN型を定義する。
• モジュライ的普遍性を用いて、局所的に閉じた部分スキーム$S^\tau(E) \subset S$としてスケマティック層化を構成する。
• ヒルベルトスキームの技法と、HNフィルトレーションをパラメトライズするQuotスキームの非分岐性を用いて、スケマティック構造を証明する。
• HNフィルトレーションの長さに関する帰納法を用い、逐次的な商を介して、長さを小さくする。
• 微分作用素のスプリットなほぼ多項式的層$Λ$の存在を活用して、$Λ$-加群構造と純粋性条件を定義する。
• 相対的HNフィルトレーションが一意的で、底変換と整合的であることを証明し、スケマティック層化が適切に定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主G束の族のハードラー＝ナラシンハン層化に、自然なスキーム構造を導入できるか？
• RQ2 スケマティックHN層化は、固定型の相対的HNフィルトレーションを許可する底変換を分類する普遍性を持つか？
• RQ3 スケマティックHN層化を、混合特徴および任意次元における$Λ$-加群の族へ拡張できるか？
• RQ4 適切な平坦性および純粋性条件の下で、固定HN型を持つ$Λ$-加群は代数スタックをなすか？
• RQ5 固定HN型を持つ$Λ$-加群のスタックが、有限型のアトラスをもつのはどのような条件下か？

主な発見

• 主G束の族のパラメータスキーム$S$における各ハードラー＝ナラシンハン層化$S^\tau(E)$は、所望の普遍性を持つ唯一の局所的に閉じた部分スキームとしての構造を備える。
• $Λ$-加群のスケマティックHN層化は、HNフィルトレーションの長さに関する下向きの帰納法を用い、Quotスキームと非分岐準同型を用いて構成される。
• 最初のHN商をパラメトライズするQuotスキームの接空間は自明であり、これはQuot準同型が非分岐であり、したがって閉埋め込みであることを意味する。
• 固定HN型$\tau$を持つ$Λ$-加群のスタック$\Lambda Coh_{X/S}^\tau$は、アーティンスタック$\Lambda Coh_{X/S}$の局所的に閉じた部分スタックである。
• 半安定$Λ$-加群の有界性が成り立つとき、各スタック$\Lambda Coh_{X/S}^\tau$は$S$上に有限型のアトラスをもつ。これはニツェの結果を一般化する。
• この構成は任意の特徴、特に混合特徴に対しても成立し、局所ネーター的基底上の射影的スキームの族に適用可能である。