[論文レビュー] Schematic homotopy types and non-abelian Hodge theory I: The Hodge decomposition

Ludmil Katzarkov, Tony Pantev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、任意の基本群をもつ複素射影多様体 X について、C×δ の作用を用いて、そのスケーマティックホモトピー型 (X ⊗ C) sch にホッジ分解を導入する。これはコhomology およびプロ代数的基本群における古典的ホッジ構造を回復し、デリーニのホッジ分解を単純に連結でない場合に拡張し、特定のホモトピー型が複素射影多様体として実現可能でないことを示す新たなホモトピー不変量を構成する。

ABSTRACT

In this work we use Hodge theoretic methods to study homotopy types of complex projective manifolds with arbitrary fundamental groups. The main tool we use is the schematization functor X ↦ → (X ⊗ C) sch, introduced by the third author as a substitute for the rationalization functor in homotopy theory in the case of non-simply connected spaces. Our main result is the construction of a Hodge decomposition on (X ⊗ C) sch. This Hodge decomposition is encoded in an action of the discrete group C ×δ on the object (X ⊗ C) sch and is shown to recover the usual Hodge decomposition on cohomology, the Hodge filtration on the pro-algebraic fundamental group as defined by C.Simpson, and in the simply connected case, the Hodge decomposition on the complexified homotopy groups as defined by P.Deligne, P.Griffiths, J.Morgan and D.Sullivan. Finally, using the construction X ↦ → (X ⊗ C) sch, we define new homotopy invariants of a space X, which are related to the action of its fundamental group π1(X, x) on its complexified higher homotopy groups πi(X, x) ⊗ C. When X is a smooth and projective complex variety, we use the Hodge decomposition on (X ⊗ C) sch to deduce some restrictions on these invariants and construct explicit new examples of homotopy types which are not realizable as complex projective manifolds.

研究の動機と目的

• 非自明な基本群をもつ複素射影多様体のホモトピー型にホッジ理論的手法を拡張すること。
• C×δ の作用を用いて、スケーマティックホモトピー型 (X ⊗ C) sch にホッジ分解を定義すること。
• C. シンプソンが定義したように、コhomology およびプロ代数的基本群における既知のホッジ構造を回復すること。
• デリーニらによる複素化されたホモトピー群におけるホッジ分解を、単純に連結でない場合に一般化すること。
• π1(X,x) が πi(X,x)⊗C に作用するものから得られる新たなホモトピー不変量を構成し、それらを用いて特定のホモトピー型が複素射影多様体として実現可能でないことを同定すること。

提案手法

• 非単純連結ホモトピー理論における有理化の代わりに、関手 X ↦ (X ⊗ C) sch を用いる。
• 離散群 C×δ の作用を用いて、(X ⊗ C) sch にホッジ分解を導入する。
• スケーマティックホモトピー型の構造を分析するため、ホッジ理論的手法に依拠する。
• ホッジ分解が古典的不変量（コhomology ホッジ構造およびシンプソンのプロ代数的基本群）と整合することを確立する。
• スケーマティックホモトピー型を用いて、π1(X,x) が πi(X,x)⊗C に作用するものに関連する新たな不変量を定義する。
• ホッジ構造 (X ⊗ C) sch を用いて、複素射影多様体として実現可能なホモトピー型に課される制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジ理論的手法を、非自明な基本群をもつ複素射影多様体のホモトピー型にどのように拡張できるか。
• RQ2 スケーマティックホモトピー型 (X ⊗ C) sch にホッジ分解を構成できるか。また、それは古典的ホッジ構造とどのように関係するか。
• RQ3 スケーマティックホモトピー型 (X ⊗ C) sch におけるホッジ分解は、C. シンプソンが定義したプロ代数的基本群におけるホッジフィルトレーションを回復するか。
• RQ4 単純に連結でない場合に、ホッジ構造 (X ⊗ C) sch は、デリーニ et al. が複素化されたホモトピー群に定義したホッジ分解を一般化するか。
• RQ5 π1(X,x) が πi(X,x)⊗C に作用するものから生じる新たなホモトピー不変量は何か。それらは、特定のホモトピー型が複素射影多様体として実現可能でないことを示すどのような遮断条件を提供するか。

主な発見

• C×δ の作用を用いて、スケーマティックホモトピー型 (X ⊗ C) sch にホッジ分解が構成され、これは単純に連結でない空間への古典的ホッジ理論の一般化である。
• スケーマティックホモトピー型 (X ⊗ C) sch におけるホッジ分解は、コhomology 群 H^i(X, C) における標準的ホッジ分解を回復する。
• C. シンプソンが定義したように、プロ代数的基本群におけるホッジフィルトレーションを回復する。
• 単一連結の場合、スケーマティックホモトピー型 (X ⊗ C) sch におけるホッジ構造は、デリーニ、グリフィス、モーガン、サリヴァンが定義した複素化された高次ホモトピー群におけるホッジ分解を回復する。
• π1(X,x) が πi(X,x)⊗C に作用するものから得られる新たなホモトピー不変量が定義され、それらは特定のホモトピー型が複素射影多様体として実現可能でないことを示す遮断条件を提供する。
• ホッジ構造 (X ⊗ C) sch を用いて、複素射影代数的多様体として実現不可能なホモトピー型の具体例が構成される。