[論文レビュー] Schemes as functors on topological rings

Oliver Lorscheid, Cecília Salgado|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の局所的環 $ R $ 上の任意のスキーム $ X $ に対して、$ R $-有理点の集合 $ X(R) $ に一般でファンクター的な位相を導入する。これは、有限性や分離性の条件を要しない古典的な強い位相およびアーベル位相を拡張するものである。主な貢献は、$ R $ の位相的性質（例えばハウスドルフ性、局所環であること、単位元のなす部分群が開であること）を、$ X(R) $ に誘導される位相のファンクター的性質によって特徴づけることであり、またアーベル環 $ \mathbf{A} $ に対する $ X(\mathbf{A}) $ の細かい位相が古典的なアーベル位相と一致することを証明している。

ABSTRACT

Let $X$ be a scheme. In this text, we extend the known definitions of a topology on the set $X(R)$ of $R$-rational points from topological fields, local rings and adèle rings to any ring $R$ with a topology. This definition is functorial in both $X$ and $R$, and it does not rely on any restriction on $X$ like separability or finiteness conditions. We characterize properties of $R$, such as being a topological Hausdorff ring, a local ring or having $R^ imes$ as an open subset for which inversion is continuous, in terms of functorial properties of the topology of $X(R)$. Particular instances of this general approach yield a new characterization of adelic topologies, and a definition of topologies for higher local fields.

研究の動機と目的

• 局所体やアーベル環の古典的ケースを超えて、任意のスキーム $ X $ と任意の局所的環 $ R $ に対して、$ X(R) $ に定義される位相の一般化を図ること。
• $ X $ に対して有限型、分離性、あるいは有限性の条件を課さないこと。
• $ R $ の位相的性質（例えばハウスドルフ性、局所環であること、単位元のなす部分群が開であること）を、$ X(R) $ に誘導される位相のファンクター的性質によって特徴づけること。
• 既知の位相（例えば局所体 $ k $ に対する $ X(k) $ の強い位相、およびグローバル体に対する $ X(\mathbf{A}) $ のアーベル位相）を特別な場合として回復する統一的な枠組みを提供すること。
• グローバル体のアーベル環 $ \mathbf{A} $ に対して、$ X(\mathbf{A}) $ の細かい位相が古典的なアーベル位相と一致することを確立すること。

提案手法

• 任意のスキーム $ X $ と任意の局所的環 $ R $ に対して、$ X $ および $ R $ に関してファンクター的であることを保証する普遍性を用いて、$ X(R) $ に位相を定義する。
• すべての $ X $ のアフィン開部分スキームからの射が $ X(R) $ に連続になるような最も細かい位相を構成することで、強い位相の構成を一般化する。
• 「細かい位相」として、すべての射 $ \alpha: U \to X $（$ U $ はアフィン $ k $-スキーム）が $ X(R) $ 上で連続になるような、最も粗い位相を用いる。
• アーベル環 $ \mathbf{A} $ に対して、$ S $-アーベル位相と余極限構造を用いて、$ X(\mathbf{A}) $ の細かい位相が古典的なアーベル位相と等価であることを示すことにより、$ X(\mathbf{A}) $ の細かい位相が古典的なアーベル位相と一致することを証明する。
• 特に、$ \mathbb{G}_m(R) \to \mathbb{A}^1(R) $ のような射の連続性および開性を通じて、$ R $ の性質（ハウスドルフ性、単位元のなす部分群が開であること）を $ X(R) $ に誘導される位相の性質として特徴づける。
• 有限個の場所の集合 $ S $ における余極限構造とファンクター性を活用して、$ X(\mathbf{A}) $ と $ X_S(\mathbf{A}_S) $ を関連づけ、ベース拡大および射に関してアーベル的開性が保存されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所体 $ k $ に対して $ X(k) $ の強い位相を、$ R $ が局所的でもハウスドルフでもない一般の局所的環 $ R $ に一般化することは可能か？
• RQ2 グローバル体 $ \mathbf{A} $ に対して $ X(\mathbf{A}) $ のアーベル位相を、モデルスキームや有限型の仮定に依存しないファンクター的な方法で特徴づけるにはどうすればよいか？
• RQ3 $ X(R) $ の位相のファンクター的性質は、$ R $ が局所環であることや単位元のなす部分群が開であることといった $ R $ の位相的性質をどのように特徴づけるか？
• RQ4 任意のスキーム $ X $ と任意の局所的環 $ R $ に対して、$ X(R) $ に定義される一様的かつ内因的な位相の定義は存在するか？ その定義は、既知の位相を特別な場合として回復するか？
• RQ5 グローバル体のアーベル環 $ \mathbf{A} $ に対して、$ X(\mathbf{A}) $ の細かい位相が古典的なアーベル位相と一致するか？

主な発見

• グローバル体のアーベル環 $ \mathbf{A} $ に対して、$ X(\mathbf{A}) $ の細かい位相は、定理 7.3 で示されるように、古典的なアーベル位相と一致する。
• $ X(R) $ に定義される位相は、$ X $ および $ R $ に関してファンクター的であり、$ X $ が有限型でなくても、$ R $ が局所的またはハウスドルフでなくてもよい。
• $ X(R) $ の位相は、任意のアフィン $ k $-スキーム $ U $ からの射 $ \alpha: U \to X $ に対して、$ \alpha^{-1}(W) \subset U(R) $ が $ U(R) $ で開であることと、$ W \subset X(R) $ が開であることとが同値である、という性質によって特徴づけられる。
• 位相的環 $ R $ がハウスドルフであるための必要十分条件は、すべてのスキーム $ X $ に対して、対角写像 $ X(R) \to X(R) \times X(R) $ が閉であることである。これはハウスドルフ性のファンクター的特徴づけである。
• 位相的環 $ R $ が単位元のなす部分群をもつための必要十分条件は、開埋め込み $ \mathbb{G}_m \to \mathbb{A}^1 $ が誘導する写像 $ R^\times \to R $ が開写像であることである。これは単位元のなす部分群が開であるという性質のファンクター的特徴づけである。
• 条件 (F6) を満たす局所コンパクトハウスドルフ環 $ R $ に対して、すべての有限型 $ k $-スキーム $ X $ に対して、空間 $ X(R) $ は局所コンパクトである。これは、補題 8.1 で示されている。