[論文レビュー] Schensted-type correspondences and plactic monoids for types $B_{n}$ and $D_{n}$

Cédric Lecouvey|ArXiv.org|Nov 28, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、カシワラのクリスタル基底理論を用いて、型$B_n$および$D_n$のシュエンステド型対応とプレアックモノイドを確立する。直交およびスピンテーブルックスの挿入アルゴリズムを導入し、モノイド$…{Pl}(B_n)$および$…{Pl}(D_n)$の定義関係を導出し、シェーツのアルゴリズムに基づく型$B$のジュ・ド・タインを構成し、2つの語がモノイド内で同値であるための必要十分条件が、クリスタルグラフの同一連結成分内にあることであることを証明する。

ABSTRACT

We use Kashiwara's theory of crystal bases to study plactic monoids for $U_{q}(so_{2n+1})$ and $U_{q}(so_{2n})$. Simultaneously we describe a Schensted type correspondence in the crystal graphs of tensor powers of vector and spin representations and we derive a Jeu de Taquin for type $B$ from the Sheats sliding algorithm.

研究の動機と目的

• 型$A_n$から型$B_n$および$D_n$へのシュエンステド対応およびプレアックモノイド構成を、クリスタル基底理論を用いて拡張すること。
• アルファベット$\mathcal{B}_n^*$および$\mathcal{D}_n^*$上の語の同値関係を通じて、プレアックモノイド$\mathrm{Pl}(B_n)$および$\mathrm{Pl}(D_n)$を定義し、特徴づけること。
• テンソル積の表現のクリスタルグラフにおけるシュエンステド型対応をもたらす、直交およびスピンテーブルックスのための挿入アルゴリズムを開発すること。
• 型$C$のシェーツのスライディングアルゴリズムを用いて型$B$のジュ・ド・タインを一般化し、スピン表現を含む枠組みを拡張すること。

提案手法

• Kashiwaraのクリスタル基底理論を用いて、$U_q(so_{2n+1})$および$U_q(so_{2n})$の基本表現のテンソル積のクリスタルグラフを分析する。
• スピン表現$V(\Lambda_n^B)$、$V(\Lambda_n^D)$、および$V(\Lambda_{n-1}^D)$をモデル化するためのスピンカラムを導入し、拡張アルファベット$\mathfrak{B}_n = \mathcal{B}_n \cup SP_n$および$\mathfrak{D}_n = \mathcal{D}_n \cup SP_n$を定義する。
• 拡張クリスタルグラフ$\mathfrak{G}_n^B$および$\mathfrak{G}_n^D$の同型連結成分における一貫性に基づき、語の同値関係$\overset{B}{\sim}$および$\overset{D}{\sim}$を定義し、$\mathrm{Pl}(B_n) = \mathcal{B}_n^* / \overset{B}{\sim}$および$\mathrm{Pl}(D_n) = \mathcal{D}_n^* / \overset{D}{\sim}$がモノイドであることを証明する。
• Kashiwara-Nakashimaの枠組みを用いて、直交テーブルックス（型$B$および$D$のヤングテーブルックスに類似）のための列挿入アルゴリズムを構築する。
• 形状が各ステップで1つのボックスずつ変化するように、$Q$-シンボルを実現するための振動的テーブルックス（標準テーブルックスに類似）を定義する。
• スピン表現を含めるために、語$\mathfrak{B}_n^*$および$\mathfrak{D}_n^*$のための一般化テーブルックス$\mathfrak{P}(w)$および$\mathfrak{Q}(w)$を定義し、$w_1 \sim w_2$が成り立つのは$w_1 \equiv w_2$であるとき、かつそのときに限ることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリスタル基底理論および挿入アルゴリズムを用いて、シュエンステド対応を型$B_n$および$D_n$に一般化する方法は何か？
• RQ2 プレアックモノイド$\mathrm{Pl}(B_n)$および$\mathrm{Pl}(D_n)$の定義関係は何か？また、クリスタルグラフ内の語の同値性とどのように関係するか？
• RQ3 型$C$のシェーツのスライディングアルゴリズムを用いて、型$B$のジュ・ド・タインを構築できるか？また、挿入プロセスとどのように関係するか？
• RQ4 スピン表現は、クリスタルグラフの構造およびプレアックモノイド内の同値関係にどのように影響を与えるか？
• RQ5 型$B$および$D$の拡張シュエンステド対応において、$P$-シンボルと$Q$-シンボルの関係は何か？

主な発見

• プレアックモノイド$\mathrm{Pl}(B_n)$は$\mathcal{B}_n^* / \overset{B}{\sim}$に同型であり、$w_1 \overset{B}{\sim} w_2$であるのは、$w_1$と$w_2$がクリスタルグラフ$\mathfrak{G}_n^B$の同一の同型連結成分内にあるときであり、$\mathrm{Pl}(D_n)$についても同様である。
• 直交テーブルックスのための挿入アルゴリズムは、$G_n^B$および$G_n^D$においてシュエンステド型対応をもたらし、各語$w$を$(\mathfrak{P}(w), \mathfrak{Q}(w))$のペアに写像する。ここで$\mathfrak{P}(w)$は一般化された直交テーブルックスであり、$\mathfrak{Q}(w)$は振動的テーブルックスである。
• 語$w$が$\mathfrak{B}_n^*$または$\mathfrak{D}_n^*$に属する限り、一般化テーブルックス$\mathfrak{P}(w)$は挿入プロセスによって一意に定まる。また、$w \sim w'$であるのは$\mathfrak{Q}(w) = \mathfrak{Q}(w')$であるときであり、かつそのときに限る。これは、それらが同一の連結成分内にあることを意味する。
• 拡張モノイド$\mathfrak{Pl}(B_n)$および$\mathfrak{Pl}(D_n)$は、それぞれ$\mathfrak{B}_n^* / \overset{B}{\sim}$および$\mathfrak{D}_n^* / \overset{D}{\sim}$として定義され、同値関係$w_1 \sim w_2$が成り立つのは、$w_1 \equiv w_2$がモノイド内で成り立つときであり、かつそのときに限る。
• 型$B$のジュ・ド・タインは、型$C$のシェーツのアルゴリズムに基づいて構築され、挿入プロセスおよび$Q$-シンボル対応の構造を保つ。
• 最高重み頂点$w_1$および$w_2$が$\mathfrak{G}_n$に属するとき、$w_1 \sim w_2$であるのは$w_1 \equiv w_2$であるときであり、かつそのときに限る。また、$\mathfrak{P}(w)$は、$\mathrm{w}(\mathfrak{P}(w)) \sim w$を満たす唯一の一般化された直交テーブルックスである。