[論文レビュー] Schlomilch and Bell Series for Bessel's Functions, with Probabilistic Applications

E. Ostrovsky, L. Sirota|ArXiv.org|Apr 1, 2008

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 11被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、修正ベッセル関数に対するシュレーミルヒトおよびベル級数を導入し、それらの漸近的および非漸近的性質を確立するとともに、独立した確率変数の和に関するモーメント不等式と関連付ける。ローゼンタール型モーメント不等式における正確な定数を導出し、漸近的評価を改善し、計算のための数値アルゴリズムを提供する。応用として、バナッハ空間およびヒルバート空間におけるポアソン分布および対称分布に従う確率変数に適用する。

ABSTRACT

We have introduced and investigated so-called Shlomilchs and Bells series for modified Bessel's functions, namely, their asymptotic and non-asymptotic properties, connection with Stirling's and Bell's numbers etc. We have obtained exact constants in the moment inequalities for sums of centered independent random variables, improved their asymptotical properties, found lower and upper bounds, calculated a more exact approximation, elaborated the numerical algorithm for their calculation, studied the class of smoothing, etc.

研究の動機と目的

• 修正ベッセル関数に対するシュレーミルヒトおよびベル級数の開発と分析、特にその漸近的および非漸近的挙動の特定。
• 独立で中心化された確率変数の和に関するモーメント不等式における正確な定数の確立し、既存の漸近的評価を改善すること。
• これらの級数とスターリング数、ベル数、ポアソン分布との関連を確立し、正確なモーメント推定を可能にすること。
• これらの定数を計算するための数値アルゴリズムの提供および、この文脈における滑らかさ関数のクラスの研究。
• 結果をヒルバート空間値確率変数に一般化し、対称な確率ベクトルの和のpノルムに対する鋭い境界を導出すること。

提案手法

• 修正ベッセル関数の第一種を表す $ I_k(\beta) $ を用いて、$ F_3(p;\theta,\beta) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |k|^p \theta^k I_k(\beta) $ および $ G_3(p;\theta,\beta) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} k^p \theta^k I_k(\beta) $ を定義する。
• 確率的解釈を確立：$ \mathbb{E}|\tau|^p = e^{-(\lambda+\mu)} F_3(p; \sqrt{\lambda/\mu}, 2\sqrt{\lambda\mu}) $、ここで $ \tau = \xi - \eta $、$ \xi, \eta \sim \text{Poisson}(\lambda, \mu) $。
• 一般化されたベル関数 $ B_4(p;a,\lambda,\gamma) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|n-a|^p \lambda^n}{e^\lambda \Gamma(n+\gamma+1)} $ を導入し、$ B_3, B_2, B_1 $ を特別な場合として含む。
• 鞍点法および母関数技法を用いて、$ p \to \infty $ のときの $ F_3, G_3, B_1(p) $、および $ D_1(p) $ の漸近展開を導出する。
• 恒等式 $ \mathbb{E}\xi^{(r)} = \lambda^r $ および $ x^n = \sum_r s(n,r) x_{(r)} $ を用いて、モーメントと第二種スターリング数との関連を確立する。
• これらの展開を応用し、ヒルバート空間における $ \mathbb{E}\left|\sum \eta(i)\right|^p $ の鋭い境界を導出し、$ Z(p) = S(p) $ とおく（$ S(p) $ はローゼンタール型不等式における鋭い定数）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 修正ベッセル関数に対するシュレーミルヒトおよびベル級数の漸近的および非漸近的性質は何か？
• RQ2 これらの級数を用いて、独立で中心化された確率変数の和に関するモーメント不等式における正確な定数をどのように導出できるか？
• RQ3 これらの級数とスターリング数、ベル数、ポアソン分布との関連は何か？
• RQ4 導出された境界は、ローゼンタール型不等式における既存の漸近的推定をどのように改善するか？
• RQ5 対称かつヒルバート空間値確率変数の和のpノルムに対する鋭い定数は何か？また、ベッセル関数とどのように関連するか？

主な発見

• 独立で中心化された確率変数の和に関するローゼンタールモーメント不等式における正確な定数は $ G(p) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^p}{e \cdot n!} $ で与えられ、$ \exp(X(p)) \cdot (1 + C_{20} \log p / p) \leq G(p) \leq \exp(X(p)) \cdot (1 + C_{19} \log p / p) $ を満たす。ここで $ X(p) = \frac{p}{e} \log \left( \frac{p}{e} \right) $。
• $ p \to \infty $ のとき、$ G(p) \sim \frac{p}{e \log p} \left[ 1 + \frac{\log \log p}{\log p} + \frac{1 + \log t}{\log p} + \frac{\log^2 \log p}{\log^2 p} + o\left( \frac{\log \log p}{\log^2 p} \right) \right] $ が成り立ち、$ t $ は分散に関連するパラメータ。
• 対称かつヒルバート空間値確率変数の和のpノルムに対する鋭い定数 $ Z(p) = S(p) $ は、$ \sup_{p \geq 4} Z(p)/g(p) = C_9 \approx 1.53572 $ および $ \sup_{p \geq 15} Z(p)/h(p) = C_{11} \approx 1.03734 $ を満たす。
• $ t \in (0, 1/2] $ のとき、$ R(p,t) = \mathbb{E}|\nu_1 - \nu_2|^p $、ここで $ \nu_1, \nu_2 \sim \text{Poisson}(t) $ は $ R(p,t) = 2e^{-2t} \sum_{n=1}^{\infty} n^p I_n(2t) = e^{-2t} F_2(p; 2) $ を満たし、$ \lim_{p \to \infty} R(p,t)/g(p) = 1 $。
• 関数 $ Q^{p}(p,A,D) \cdot (D^2/A)^{1/(p-2)} = \mathbb{E}|\nu_1 - \nu_2|^p = e^{-2t} F_2(p;2) $、ここで $ t = 0.5(A/D^p)^{1/(p-2)} $、かつ $ R(p,t) $ は漸近的に $ \left[ t M(p/t) \right]^{1 - tM(p/t)/p} \left(1 + o(\log p / p) \right) $ に漸近する。
• 数値表により、$ u(t) = \sup_{p \geq 4} R(p,t)/g(p) $ は $ t=0.5 $ で 1.53572 から $ t=0.2 $ で 1.2163 に減少し、$ t $ が小さくなるにつれて集中度が向上することが示唆される。