[論文レビュー] Schmidt Norms for Quantum States

Nathaniel Johnston, David W. Kribs|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2009

Quantum Information and Cryptography参考文献 31被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、量子情報理論への応用を持つ、スカラー・ベクトルおよび作用素ノルムであるシュミットノルムを導入する。これらのノルムは、k-正の線形写像の分類、射影に関する不等式を用いた束縛もつ量子状態の解析、および量子同時確率、トレース距離、局所数値範囲との関連において、その有用性を示している。さらに、作用素ノルムを束縛するための半定値計画法を構築し、凸写像コーンへの拡張も行っている。

ABSTRACT

Abstract. We consider a family of vector and operator norms which we refer to as Schmidt norms. We show that these norms have several uses in quantum information theory – they can be used to help classify k-positive linear maps (and hence entanglement witnesses), they are useful for approaching the problem of finding non-positive partial transpose bound entangled Werner states, they are related to the quantum fidelity and trace distance measures, and they are connected to the recently-defined local numerical range. We show that the vector norms can be explicitly calculated, and we derive several inequalities in order to bound the operator norms and compute them in special cases. We show that one particular entangled Werner state is bound entangled if and only if a certain norm inequality holds on a given family of projections, and we use our inequalities to study that family of projections. We also develop a family of semidefinite programs that can be used to further bound the operator norms. We extend these norms to arbitrary convex mapping cones and explore their implications with positive partial transpose states. 1.

研究の動機と目的

• 量子情報理論における量子状態および写像の分析のためのシュミットノルムを発展・特徴づけること。
• これらのノルムを用いてk-正の線形写像を分類し、もつれのためのウィtnessを特定すること。
• 射影に関するノルム不等式を用いて、非正の部分転置を持つ束縛もつワーナー状態の存在を調査すること。
• シュミットノルムと量子同時確率、トレース距離といった既存の測度との関連を確立すること。
• 形式的枠組みを凸写像コーンに拡張し、正の部分転置状態および関連する正性条件に対する新たな知見を得ること。

提案手法

• 量子状態のシュミット分解から導かれる、ベクトルおよび作用素ノルムの族としてシュミットノルムを定義すること。
• ベクトルノルムの明示的公式を導出し、作用素ノルムを束縛するための不等式を確立すること。
• ノルム不等式を用いて、特定のワーナー状態が射影に関する条件を満たす場合にのみ束縛もつであるかどうかを判定すること。
• 作用素ノルムをさらに束縛するための半定値計画法を定式化し、数値計算を可能にする。
• 任意の凸写像コーンにノルム枠組みを拡張し、量子写像の正性性質を分析すること。
• シュミットノルムと局所数値範囲との関連を確立し、理論的関連性を強化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたワーナー状態が束縛もつであるための条件は何か？ また、これはどのようにシュミットノルム不等式を用いて特定できるか？
• RQ2 シュミットノルムは量子同時確率やトレース距離とどのように関連し、これらの関連から得られる構造的洞察は何か？
• RQ3 シュミットノルムを用いてk-正の線形写像を分類し、もつれのためのウィtnessを特定できるか？
• RQ4 射影は、ノルム制約を用いてワーナー状態のもつれ性質を特定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 半定値計画法をどのように活用してシュミット作用素ノルムを効率的に計算または束縛できるか？

主な発見

• 特定のもつれワーナー状態が、与えられた射影の族におけるあるノルム不等式が成り立つ場合に限り束縛もつであることが示され、束縛もつ性の基準が得られた。
• ベクトルシュミットノルムは明示的に計算可能であり、もつれ検出および状態分類への直接応用が可能である。
• 作用素シュミットノルムを束縛するための複数の不等式が導出され、特殊な場合の解析および数値近似に役立つ。
• 作用素ノルムをさらに束縛するための半定値計画法が開発され、複雑な場合の計算的アプローチを提供した。
• シュミットノルムが局所数値範囲と関連していることが示され、量子情報における理論的解釈を豊かにした。
• 枠組みが凸写像コーンに拡張され、正の部分転置状態および関連する正性条件に関する新たな知見が得られた。