[論文レビュー] Schmidt's Game on Certain Fractals

Lior Fishman|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、自己相似なフラクタル $K$（例：カントール集合、コッホ曲線、シエルピンスキー・ギャスケット）と、悪い近似ベクトルの集合（BA）のアフィン変換の可算交差との交わりが、$K$ 上で $\alpha$-winning 集合であることを確立している。したがって、そのハウスドルフ次元は $\dim K$ に等しくなる。この結果は、シュミートの古典的なゲーム理論的手法を $\mathbb{R}^N$ のフラクタル部分集合へ拡張し、開集合条件を満たすフラクタルに制限された場合でも、BA 集合がアフィン変換のもとで「大きく」保たれることを示している。

ABSTRACT

We construct (α,β) and α-winning sets in the sense of Schmidt's game, played on the support of certain measures (very friendly and awfully friendly measures) and show how to derive the Hausdorff dimension for some. In particular we prove that if K is the attractor of an irreducible finite family of contracting similarity maps of R^N satisfying the open set condition then for any countable collection of non-singular affine transformations Λ_i:R^N o R^N, dimK=dimK\cap (\cap ^{\infty}_{i=1}(Λ_i(BA))) where BA is the set of badly approximable vectors in R^N.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^N$ のフラクタル部分集合へのシュミートのゲーム理論の拡張を、悪い近似ベクトルの集合のアフィン変換との交わりの次元を分析することによって行う。
• そのような交わりがフラクタルの台上で $\alpha$-winning 集合であることを確立し、これによりハウスドルフ次元が最大であることを示す。
• 既存の $\dim(K \cap \text{BA}) = \dim K$ の結果を、可算個のアフィン変換された BA 集合との交わりへ一般化する。
• 自己相似フラクタルが開集合条件を満たす場合、その $\delta$-次元ハウスドルフ測度が絶対的フレンドリーであることを示し、シュミートのゲームへの適用を可能にする。

提案手法

• 絶対的フレンドリー測度の台上で $(\alpha, \beta)$-winning 集合を構成し、これは自己相似フラクタル上の $\delta$-次元ハウスドルフ測度を含む。
• フラクタル設定に対応させるためにシュミート元来のゲームで用いられる単体補題の修正版を適用し、ゲームに勝つ戦略が存在することを保証する。
• 自己相似集合上のハウスドルフ測度のべき則性を用いて、絶対的フレンドリー性に必要な減衰性とダブルイング条件を検証する。
• 定理 2.2 および系 2.1 を適用し、各アフィン変換 $\Lambda_i$ に対して $K \cap \Lambda_i(\text{BA})$ が $\alpha$-winning であることを示す。
• 有理近似レベルに基づく入れ子になった集合 $U_k$ の列を定義することで、可算個のアフィン変換に対して勝ち条件が一様に成り立つことを確立する。
• 生成相似写像の非可約性と開集合条件を活用し、フラクタルが一様に分布し、正規測度を備えることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似フラクタル $K$ と、悪い近似ベクトルの集合（BA）の可算個のアフィン変換との交わりは空でないか？
• RQ2 $K \cap \bigcap_{i=1}^\infty \Lambda_i(\text{BA})$ の交わりは、$K$ のハウスドルフ次元を保っているか？
• RQ3 シュミートのゲームは、このような交わりがフラクタルの台上で $\alpha$-winning 集合であることを示すために適応可能か？
• RQ4 フラクタル上の測度論的条件下で、悪い近似ベクトルの集合が勝ち集合であるとはどのような条件か？
• RQ5 ハウスドルフ測度の $K$ 上でのべき則性と、$K \cap \Lambda_i(\text{BA})$ の勝ち性の性質との関係は何か？

主な発見

• 任意の $0 < \alpha < \frac{1}{12}\alpha'$ に対して、集合 $\mathcal{S} = K \cap \bigcap_{i=1}^\infty \Lambda_i(\text{BA})$ は $K$ 上で $\alpha$-winning 集合である。ここで $\alpha'$ は生成写像の相似比から導かれる定数である。
• 集合 $\mathcal{S}$ のハウスドルフ次元は $K$ のハウスドルフ次元に等しく、すなわち $\dim \mathcal{S} = \dim K$ である。これは、可算個の BA 集合のアフィン変換との交わりに対しても成立する。
• $K$ に制限された $\delta$-次元ハウスドルフ測度 $\mu$ は絶対的フレンドリーであり、指数 $\delta = \dim K$ で条件 3.6 を満たす。これによりシュミートのゲームの適用が可能になる。
• 証明は、測度 $\mu$ が絶対的 $(C,a)$-減衰性を満たし、べき則性を満たすことを検証することに依拠しており、ゲーム理論的構成に必要な正規性を保証する。
• この結果は、従来の $K \cap \text{BA}$ の勝ち性の結果を、変換にやや厳しい条件を課す場合を除き、$K \cap \bigcap_i \Lambda_i(\text{BA})$ へも拡張している。
• シュミートの元来の結果を $\mathbb{R}^N$ からフラクタル部分集合へ一般化し、BA 集合の「大きな」次元性がアフィン像およびフラクタル制限の下でも保たれることを示している。