[論文レビュー] Schmidt states and positivity of linear maps

Aik-meng Kuah, E. C. G. Sudarshan|ArXiv.org|Jun 13, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、線形写像のm-正性がその負のクラウス行列のランクによって制限されることを示しており、L^Q が負のクラウス行列である場合、写像は rank(L^Q)-正性をもてないと結論している。m-正性の代数的基準を提示し、エンタングルメント検出には1-正性の写像のみが十分であることを示しており、特にキュービットでは転置写像が最小のエンタングルメント・ウィtnessとして機能する。

ABSTRACT

Using pure entangled Schmidt states, we show that m-positivity of a map is bounded by the ranks of its negative Kraus matrices. We also give an algebraic condition for a map to be m-positive. We interpret these results in the context of positive maps as entanglement witnesses, and find that only 1-positive maps are needed for testing entanglement.

研究の動機と目的

• 量子情報理論におけるm-正性写像の構造的制約を理解すること。
• 負のクラウス行列のランクが写像のm-正性に与える制限を特定すること。
• スミット状態を用いてm-正性の代数的条件を構築すること。
• 正の写像がエンタングルメント・ウィtnessとして果たす役割、特にスミットランクによるエンタングルド状態の区別に関して明確化すること。
• エンタングルメント検出には1-正性が十分であり、より高いm-正性の写像は必要でないことを示すこと。

提案手法

• 著者らは、写像をヒルベルト型スーパーマトリクスとして表現するB形式表現を用いる。
• 負の固有値を持つクラウス行列に対して極分解を適用し、そのランクとm-正性の失敗との関連を確立する。
• ランクrの特定のスミットエンタングルド状態を構築し、Λ⊗I_rの作用を調べ、rが負のクラウス行列のランクを上回る場合には写像が非正となることを示す。
• m-正性の必要十分条件を導出し、写像がすべてのスミットランク-m純粋状態で正であることであると明示する。
• N=2の場合の1-正性写像の正性を、ユニタリ変換と射影技術を用いて分析する。
• 写像行列を擬似密度行列とみなしその固有値分解を用いて正性の性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負のクラウス行列のランクに基づいて、線形写像のm-正性の上界は何か？
• RQ2 写像がm-正性であるかどうかを判定する代数的基準を導出できるか？
• RQ3 なぜ1-正性で十分にエンタングルメント検出が可能であり、より高いm-正性の写像は必要でないのか？
• RQ4 エンタングルド状態のスミットランクと写像のm-正性の関係は何か？
• RQ5 正の写像がエンタングルメント・ウィtnessとして果たす幾何的役割は、スミットランクによるエンタングルド状態の分離においてどのようなものか？

主な発見

• L^Q が負のクラウス行列である場合、写像は rank(L^Q)-正性をもてない。これはm-正性のランクに基づく上界を確立する。
• r ≥ rank(L^Q) である限り、スミット状態のランクrに作用する写像 Λ⊗I_r は正でなくなる。これは、部分行列にL^Qの完全なコピーが含まれるためである。
• N=2の場合、1-正性写像は最大で1つの負の固有値しか持てない。複数の負の固有値があると、ユニタリ変換下での射影が非正になる。
• N-正性は完全正性を意味し、これは最大エンタングルド状態を用いたチョイの定理の別証明を可能にする。
• エンタングルメント・ウィtnessとして1-正性写像のみが十分であり、スミットランクにかかわらずすべてのエンタングルド純粋状態を検出可能である。
• キュービットにおける転置写像は最小の1-正性ウィtnessであり、すべてのスミットランク2状態で負であり、キュービットの場合のすべてのエンタングルメント検出に十分である。