[論文レビュー] Schoenberg's Problem on Positive Definite Functions

Alexander Koldobsky|ArXiv.org|Oct 19, 1992

Mathematics and Applications参考文献 14被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、1938年のシューベルグの問題を解決し、$ n \geq 3 $ および $ q > 2 $ の場合、任意の $ \beta > 0 $ に対して関数 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ は正定値でないことが証明され、したがって $ B_n(q) = \emptyset $ である。$ n = 2 $ の場合、$ B_2(q) = (0,1] $ であることが示され、すべての次元および $ q $-ノルムにおけるこのような関数の分類が完全に完了する。

ABSTRACT

If $n \ge 3$, $q>2$ and $β> 0$ then the function $\exp(-(|x_1|^q+|x_2|^q+\dots+|x_n|^q)^{β/q})$\ is not positive definite. This result gives an answer to a question posed by I.J.~Schoenberg in 1938. This text is an authorized English translation of the paper published in Russian in Algebra and Analysis 3(1991), \#3, p.78--85.

研究の動機と目的

• 1938年のI.J.シューベルグの未解決問題、$ \mathbb{R}^n $ 上での $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ の正定値性についての問題を解決すること。特に $ q > 2 $ の場合。
• $ \mathbb{R}^n $ 上で $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ が正定値であるような $ \beta > 0 $ の集合 $ B_n(q) $ の正確な特定を目的とすること。特に $ n \geq 3 $ の場合。
• Fourier解析と関連確率測度のモーメント条件を用いて、$ n \geq 3 $ の場合、そのような $ \beta > 0 $ は存在しないことを示し、$ B_n(q) = \emptyset $ であることを示すこと。
• 残りのケースを解決するために、$ B_2(q) = (0,1] $ を証明し、分類を完全にすること。
• $ \mathbb{R}^n $ 上で $ f(\|x\|_q) $ が特性関数であるような偶関数 $ f $ の集合 $ \phi_n(q) $ の構造を調査し、$ n \geq 3 $ かつ $ q > 2 $ の場合、$ \phi_n(q) $ に属する非定数関数は存在しないことを示すこと。

提案手法

• 正定値性を保証するためのBochnerの定理を用い、$ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ の正定値性が、特性関数 $ f(t) = \exp(-|t|^\beta) $ を持つ確率測度 $ \nu $ の存在と等価であることを示す。
• 同次分布のFourier変換と解析接続を用いて、$ \|x\|_q^\beta $ のFourier変換に対する積分表現を導出し、$ \beta \in (-n, qn) $ の範囲で有効であることを示す。
• 補題5を用いて、$ \|x\|_q^\beta $ のFourier変換を、対称 $ q $-安定分布のFourier変換 $ \gamma_q(t\xi_k) $ の積を含む積分として表現する。
• Fubiniの定理を用いて、$ |\xi_k| $ のべきとFourier変換を含む多重線形積分 $ J_n(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}) $ を計算し、積分 $ S_q(\alpha) $ の積に分解することを可能にする。
• 有限な $ \beta $-次モーメントを持つ $ \nu $ の仮定のもとで、積分 $ J_n $ が正でなければならないが、$ S_q $ 関数の構造により、$ \alpha_k \in (-1,0) $ かつ $ -\sum \alpha_k + \beta \in (2, \min(4,q)) $ の場合に負の値をとることを示し、矛盾を導く。
• Gamma関数 $ \Gamma(-\beta/q) $ の符号分析を用いて、場合分けを行う：$ \beta \in (0,2) $ では負、$ \beta \in (-1,0) $ では正。この符号の違いが、Fourier変換の符号に影響を与え、積分評価における矛盾を引き起こす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ q > 2 $ および $ n \geq 3 $ の場合、関数 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ が $ \mathbb{R}^n $ 上で正定値であるような $ \beta > 0 $ はどれか？
• RQ2 $ n = 2 $、$ q > 2 $ の場合、そのような $ \beta $ 値の集合 $ B_2(q) $ は正確に何か？ そして、予想通り $ (0,1] $ に等しいか？
• RQ3 $ n \geq 3 $、$ q > 2 $ の場合、$ f(\|x\|_q) $ が特性関数であるような非定数関数 $ f \in \phi_n(q) $ は存在するか？
• RQ4 関数 $ f \in \phi_n(q) $ に付随する測度 $ \nu $ のモーメント条件は何か？ そして、そのような関数の存在をどのように制約するか？
• RQ5 特に、$ \|x\|_q^\beta $ のFourier変換の符号の振る舞いは、$ \nu $ の有限な $ \beta $-次モーメントを仮定した場合に、どのように矛盾を引き起こすか？

主な発見

• $ n \geq 3 $ および $ q > 2 $ の場合、集合 $ B_n(q) $ は空集合である：任意の $ \beta > 0 $ に対して $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ は正定値でない。
• $ n = 2 $ の場合、$ B_2(q) = (0,1] $ である。これは、$ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ が正定値であるための必要十分条件が $ \beta \leq 1 $ であることを確認する。
• $ n \geq 3 $ の場合、$ \beta \in (0,2) $ に対して、$ f \in \phi_n(q) $ に対応する測度 $ \nu $ の $ \beta $-次モーメントは無限大である。$ n = 2 $ の場合、$ \beta \in (1,2) $ に対しても同様。
• $ n \geq 4 $ の場合、$ \beta \in (-1,0) $ に対して $ \beta $-次モーメントは無限大であり、$ \nu $ の極端な尾部挙動を示す。
• $ \|x\|_q^\beta $ のFourier変換から導かれる積分 $ J_n(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}) $ は、特定のパrameter選択のもとで負であることが示され、$ \beta $-次モーメントが有限であれば非負でなければならないという事実と矛盾する。
• 矛盾は、$ \Gamma(-\beta/q) $ の符号と、積 $ S_q(\alpha_1) \cdots S_q(-\sum \alpha_k + \beta) $ の符号の組み合わせによって生じる。特に、$ -\sum \alpha_k + \beta \in (2, \min(4,q)) $ の場合、この積は負であるが、積分は有限モーメントの仮定のもとで非負でなければならない。