[論文レビュー] Schrödinger equations, deformation theory and $tt^*$-geometry

Huijun Fan|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 41被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有界幾何を備えた非コンパクトケーラー多様体に滑らかな関数を備えたシュレーディンガー作用素の変形理論を確立し、強いたんぱく性のもとで純粋離散スペクトルを証明する。ホッジ理論、すなわちホッジ分解とハード・レフシェッツ定理を導出し、変形空間上にホッジ bundle を構成する。全接続 $`\mathscr{D}`$ の可積分性はセコッティ＝バーファ方程式および「ファンタスティック方程式」を用いて証明され、これによりフロベニウス多様体および混合ホッジ構造の構成が可能になる。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers to construct the deformation theory of the form Schrödinger equation, which is related to a section-bundle system $(M,g,f)$, where $(M,g)$ is a noncompact complete Kähler manifold with bounded geometry and $f$ is a holomorphic function defined on $M$. This work is also the first step attempting to understand the whole Landau-Ginzburg B-model including the higher genus invariants. Our work is mainly based on the pioneer work of Cecotti, Cecotti and Vafa \cite{Ce1,Ce2,CV}.

研究の動機と目的

• 非コンパクトケーラー多様体に有界幾何を備えた接続バンドル系 $(M,g,f)$ から生じるシュレーディンガー作用素の変形理論を構築すること。
• システムが強くたんぱく性を満たす場合、シュレーディンガー作用素が純粋離散スペクトルを持つことを証明すること。
• 超ポテンシャル $f$ の変形空間上にホッジ bundle を構成し、それに対して全接続 $\mathscr{D}$ を定義すること。
• カップリング定数 $\tau$ 方向に沿った接続 $\mathscr{D}$ の可積分性を、セコッティ＝バーファ方程式および新たに導出された「ファンタスティック方程式」を用いて証明すること。
• 原始的ベクトルおよび振動積分を用いて、フレームワークを応用し、変形空間上にフロベニウス多様体構造および混合ホッジ構造を構成すること。

提案手法

• $L^2$-形式上のミニマックス原理およびスペクトル論を用いて、有界幾何を備えた完全ケーラー多様体上のシュレーディンガー作用素を分析する。
• $\bar{\partial}_f$ 演算子に対する $L^2$ コホロロジー論を適用し、スティーン多様体に対してホッジ分解およびハード・レフシェッツ定理を証明する。
• 離散スペクトルおよびスペクトル安定性を保証するため、接続バンドル系の「強くたんぱく性」の概念を導入する。
• 接続 $\mathscr{D}$ の $\tau$ 方向の振る舞いを記述するため、「ファンタスティック方程式」を導出する。
• ホッジ bundle $\mathscr{H}$ 上に平坦接続 $\mathscr{D}$ を構成し、セコッティ＝バーファ方程式およびファンタスティック方程式を用いてその可積分性を証明する。
• レフシェッツチムブルを沿った振動積分を用いて原始的ベクトルを定義し、変形空間上にフロベニウス多様体構造を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトケーラー多様体に滑らかなポテンシャルを備えたシュレーディンガー作用素が、どのような条件下で純粋離散スペクトルを持つのか。
• RQ2 超ポテンシャル $f$ の変形空間上にホッジ bundle をどのように構成できるか。また、それがどのような構造を担っているか。
• RQ3 ホッジ bundle 上の全接続 $\mathscr{D}$ の可積分性を支配する方程式は何か。また、それらは $tt^*$ 幾何とどのように関係しているか。
• RQ4 振動積分を用いて定義された原始的ベクトルから、どのようにしてフロベニウス多様体構造を回復できるか。
• RQ5 「ファンタスティック方程式」は、接続 $\mathscr{D}$ の $\tau$ 依存性を記述する上で果たす役割は何か。

主な発見

• 接続バンドル系 $(M,g,f)$ が強くたんぱく性を満たす場合、シュレーディンガー作用素は純粋離散スペクトルを持つ。
• スティーン多様体では、$\bar{\partial}_f$ の $L^2$ コホロロジーがミルノのファイバーの中間次元ホモロジーと同型である。
• 変形空間上に構成されたホッジ bundle は、平坦接続 $\mathscr{D}$ を持ち、その可積分性はセコッティ＝バーファ方程式および「ファンタスティック方程式」によって証明される。
• 「ファンタスティック方程式」は、接続 $\mathscr{D}$ の $\tau$ 方向の振る舞いを完全に記述し、平坦性を保証する。
• レフシェッツチムブルに沿った振動積分によって定義された原始的ベクトルは、変形空間上にフロベニウス多様体構造を誘導する。
• このフレームワークにより、混合ホッジ構造およびODEの同一モノドロミー変形が実現され、ランダウ＝ギンツブルグBモデルにおける高 genus 不変量の基礎が提供される。