[論文レビュー] Schrödinger equations with time-dependent strong magnetic fields

Daisuke Aiba, Kenji Yajima|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する磁場が無限遠で強い場合を含め、ほぼ臨界的につよい特異性を示す時間に依存するベクトルポテンシャル $ A(t,x) $ および電気ポテンシャル $ V(t,x) $ をもつ時間に依存するシュレーディンガー方程式に対して、ユニタリな伝播子の存在と一意性を確立する。$ V $ および $ A $ の時間微分に適切な条件を課すことにより、著者らは $ L^2(\mathbb{R}^d) $ 上に一意なユニタリな時間発展を生成することを証明し、本質的自己共役性の理論を時間に依存する強力な特異性を持つ磁場へと拡張する。

ABSTRACT

We consider d-dimensional time dependent Schrödinger equations on the Hilbert space of square integrable functions. We assume magnetic and scalar potentials are almost critically singular with respect to spatial variables both locally and at infinity for the fixed time Schrödinger operator H(t) to be essentially self-adjoint on the compactly supported smooth functions. In particular, if magnetic field B(t,x) is very strong at infinity, the scalar potential can explode to negative infinity faster than quadratic functions. We show that equations uniquely generate unitary propagators under suitable conditions on the size and singularities of time derivatives of potentials. Basic tools are Kato's abstract theory for evolution equations, Iwatsuka's identity which rewrites H(t) to an elliptic differential operator in which B(t,x) appears explicitly, and a new diamagnetic like inequality.

研究の動機と目的

• 時間に依存するベクトルポテンシャルおよびスカラー ポテンシャルがほぼ臨界的につよい特異性を示す時間に依存するシュレーディンガー方程式に対して、ユニタリ伝播子の存在と一意性を確立すること。
• 無限遠で急激に増大する磁場を持つ時間に依存するハミルトニアンに対して、本質的自己共役性の理論を拡張すること。
• $ V(t,x) $ および $ A(t,x) $ の時間微分にかかる条件を特定し、$ L^2(\mathbb{R}^d) $ 上に一意なユニタリ時間発展作用素が存在することを保証すること。
• 時間に依存する強く特異な電磁ポテンシャルの存在下での量子力学的ダイナミクスを、厳密な枠組みで定式化すること。

提案手法

• 特異性を扱うために、$ \mathcal{Y} $ が稠密部分空間で、$ \mathcal{X} $ がその双対であるようなヒルベルト空間のスケール $ \mathcal{X} \subset \mathcal{H} \subset \mathcal{Y} $ を用いる。
• 磁気的運動エネルギーに関連する時間に依存する二次形式 $ q_0(t) $ を定義し、これにより基準となる自己共共役作用素 $ \tilde{H}_0(t) $ を構成する。
• 時間に依存するポテンシャルの部分を吸収するために、共役変換 $ G(t) $ を導入し、元の問題をヒルベルト空間スケールにおける時間に依存するがノルム連続なハミルトニアンへの変換を行う。
• 時間に依存するハミルトニアンに関する一般定理の応用により、ユニタリ伝播子の存在を確立する。この定理の適用には、ハミルトニアンのノルム連続性および時間依存性の正則性が必要である。
• 閉グラフ定理を用いて $ \mathcal{Y}_t $ 上のノルムの同値性を示し、双対性を用いて $ \mathcal{X}_t $ が時間に依存しない集合として保たれることを保証する。
• ヒルベルト空間 $ \mathcal{X} $ と $ \mathcal{Y} $ の結合を用いて、$ L^2 $-ノルムが時間発展に沿って保存されることを示し、伝播子のユニタリ性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するベクトルポテンシャルおよびスカラー ポテンシャルにどのような条件下で、強い磁場を伴うシュレーディンガー方程式が一意なユニタリ伝播子を生成するか？
• RQ2 無限遠で急激に増大する磁場を持つ場合に、時間に依存するシュレーディンガー作用素の本質的自己共役性をどのように拡張できるか？
• RQ3 $ V(t,x) $ および $ A(t,x) $ の時間微分は、ユニタリ時間発展の存在にどのような役割を果たすか？
• RQ4 時間に依存する磁場を伴う場合に、ほぼ臨界的につよい特異性を持つポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式のダイナミクスを、$ L^2(\mathbb{R}^d) $ 上で厳密に定義できるか？

主な発見

• 時間微分 $ V(t,x) $ および $ A(t,x) $ に適切な条件を課すと、シュレーディンガー方程式 $ i\partial_t u = H(t)u $ は $ L^2(\mathbb{R}^d) $ 上に一意なユニタリ伝播子 $ U(t,s) $ を生成することを本稿は証明する。
• ユニタリ伝播子は強い連続性を満たし、群性質 $ U(t,s)U(s,r) = U(t,r) $ を満たし、$ U(t,t) = \mathbf{1} $ である。
• 解の $ L^2 $-ノルムが保存されることにより、すべての初期データ $ L^2(\mathbb{R}^d) $ に対して時間発展作用素がユニタリであることが保証される。
• 特異性を制御するために、時間に依存する二次形式 $ q_0(t) $ を備えたヒルベルト空間のスケール $ \mathcal{X} \subset \mathcal{H} \subset \mathcal{Y} $ に依存する手法が用いられる。
• ハミルトニアンの時間依存性が $ \mathcal{B}(\mathcal{Y}, \mathcal{X}) $ 上でノルム連続であることが示され、抽象的存在定理の適用に不可欠である。
• 構成法により、$ V(t,x) $ および $ A(t,x) $ が特異であっても、$ |B(t,x)| $ が無限遠で急激に増大する場合でさえ、伝播子 $ U(t,s) $ が $ \mathcal{H} $ 上でユニタリかつ強く連続であることが保証される。