[論文レビュー] Schrödinger operators on fractal lattices with random blow-ups

Christophe Sabot|ArXiv.org|Jan 18, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限分岐自己相似集合の確率的拡大によって構成される非有界フラクタル格子上のシュレーディンガー作用素のスペクトル性質を研究する。確率的拡大の列を用いて、スペクトルがほとんど確実に決定論的であり、状態密度の台と一致することを証明する。特に、状態密度が純粋にノイマン＝ディリクレ固有値によって生成される場合、スペクトルはほとんど確実に純粋点スペクトルであり、コンパクトに台を持つ固有関数を持つ。

ABSTRACT

Starting from a finitely ramified self-similar set $X$ we can construct an unbounded set $X_{}$ by blowing-up the initial set $X$. We consider random blow-ups and prove elementary properties of the spectrum of the natural Laplace operator on $X_{}$ (and on the associated lattice). We prove that the spectral type of the operator is almost surely deterministic with the blow-up and that the spectrum coincides with the support of the density of states almost surely (actually our result is more precise). We also prove that if the density of states is completely created by the so-called Neuman-Dirichlet eigenvalues, then almost surely the spectrum is pure point with compactly supported eigenfunctions.

研究の動機と目的

• 非有界フラクタル格子上のラプラシアン作用素のスペクトル的性質を分析すること。
• 確率的拡大の下で、スペクトルおよびその分解（ac, sc, pp）がほとんど確実に決定論的であるかどうかを特定すること。
• スペクトルがコンパクトに台を持つ固有関数を伴って純粋点スペクトルとなる条件を調査すること。
• ノイマン＝ディリクレ固有値が状態密度の生成およびスペクトル型の形状に果たす役割を明確にすること。
• 状態密度を超えて、ac, sc, pp 成分を含むスペクトル測度の理解を拡張すること。

提案手法

• ベースとなる自己相似集合 $X$ に対して、列 $\omega \in \{1,\ldots,N\}^\mathbb{N}$ を用いた反復的確率的拡大によって非有界フラクタル格子 $X_{<\infty>}$ を構成する。
• $X_{<\infty>}$ 上の自然なラプラシアン作用素 $H_{<\infty>}$ を、各段階で初期作用素 $H_{<0>}$ をスケーリングすることによって定義する。
• 有限段階近似 $X_{<n>}$ 上の $H_{<n>}$ の正規化固有値数え上げ測度の弱収束として、状態密度 $\mu$ を定義する。
• 混合境界条件を伴う固有値の数え上げ測度の極限として、ノイマン＝ディリクレ（N-D）固有値密度 $\mu^{ND}$ を定義する。
• 境界点におけるデルタ関数 $\delta_x$ と関連するスペクトル測度 $\sigma_\cdot(\delta_x)$ を用いて、$\omega$ に関する期待値によって、成分測度 $\mu^{ac}, \mu^{sc}, \mu^{pp}, \tilde{\mu}^{pp}$ を定義する。
• これらの成分測度の台と型を分析し、$H_{<\infty>}$ のスペクトル分解と関連づけることによって、ほとんど確実なスペクトル的性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的拡大によって得られるフラクタル格子上のラプラシアン作用素のスペクトルは、ほとんど確実に決定論的か？
• RQ2 $H_{<\infty>}$ のスペクトルは、ほとんど確実に状態密度の台と一致するか？
• RQ3 スペクトルがコンパクトに台を持つ固有関数を伴って純粋点スペクトルとなる条件は何か？
• RQ4 拡大プロセスの確率的性質にもかかわらず、スペクトル型（ac, sc, pp）はほとんど確実に決定可能か？
• RQ5 ノイマン＝ディリクレ固有値が、全体のスペクトル構造を決定づける役割を果たすとは何か？

主な発見

• スペクトル $\Sigma$ は、ほとんど確実に状態密度 $\mu$ の台と一致する。すなわち、$\Sigma = \mathrm{supp}(\mu)$ almost surely in $\omega$。
• $H_{<\infty>}$ のスペクトル型（ac, sc, pp）は、ほとんど確実に決定論的である。すなわち、$\Sigma_{ac}, \Sigma_{sc}, \Sigma_{pp}$ と表される決定論的集合が存在し、スペクトル分解はほとんど確実にそれらに一致する。
• 状態密度 $\mu$ が純粋にノイマン＝ディリクレ固有値によって生成される場合（$\mu = \mu^{ND}$）、スペクトルはほとんど確実に純粋点スペクトルであり、コンパクトに台を持つ固有関数を持つ。
• $\tilde{\mu}^{pp}$ は、N-D 固有値によって誘導されない純粋点成分を捉える測度として適切に定義されており、非ゼロである可能性があるが、$\tilde{\Sigma}_{pp} \neq \emptyset$ を満たす明示的な例はまだ知られていない。
• 成分測度 $\mu^{ac}, \mu^{sc}, \mu^{pp}, \tilde{\mu}^{pp}$ は、$X_{<0>}$ 上のスペクトル測度の期待値によって定義され、それらの台は、それぞれのほとんど確実なスペクトル成分 $\Sigma_{ac}, \Sigma_{sc}, \Sigma_{pp}, \tilde{\Sigma}_{pp}$ に正確に一致する。
• 連続的設定への応用は、制限作用素 $R_{X_{<0>}}$ におけるスペクトル測度およびトレース期待値の類似定義により拡張可能である。