[論文レビュー] Schrödinger operators on zigzag graphs

Evgeny Korotyaev, I. S. Lobanov|ArXiv.org|Apr 1, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、周期的ゼイガグリッド上のシュレーディンガー作用素を研究し、スペクトル解析のために、実数の分岐点（共鳴）を持つリーマン面上のライアプノフ関数を導入する。スペクトルは絶対的連続バンドがギャップで分離された形で構成されており、2種類のギャップが存在する：周期的／反周期的固有値で境界づけられる安定ギャップと、共鳴で境界づけられる不安定ギャップである。また、有限ギャップポテンシャルに対して、ポテンシャルとスペクトルデータの間の実解析的同型写像が確立される。

ABSTRACT

We consider the Schrödinger operator on zigzag graphs with a periodic potential. The spectrum of this operator consists of an absolutely continuous part (intervals separated by gaps) plus an infinite number of eigenvalues with infinite multiplicity. We describe all compactly supported eigenfunctions with the same eigenvalue. We define a Lyapunov function, which is analytic on some Riemann surface. On each sheet, the Lyapunov function has the same properties as in the scalar case, but it has branch points, which we call resonances. We prove that all resonances are real. We determine the asymptotics of the periodic and anti-periodic spectrum and of the resonances at high energy. We show that there exist two types of gaps: i) stable gaps, where the endpoints are periodic and anti-periodic eigenvalues, ii) unstable (resonance) gaps, where the endpoints are resonances (i.e., real branch points of the Lyapunov function). We obtain the following results from the inverse spectral theory: 1) we describe all finite gap potentials, 2) the mapping: potential -- all eigenvalues is a real analytic isomorphism for some class of potentials. We apply all these results to quasi-1D models of zigzag single-well carbon nanotubes.

研究の動機と目的

• 周期的ポテンシャルを有するゼイガグリッド上のシュレーディンガー作用素のスペクトル的性質を解析すること。
• スペクトルを絶対的連続成分と無限多重度の固有値の和集合として特徴づけること。
• リーマン面上に定義されたライアプノフ関数を定義・研究し、その分岐点（共鳴）を特定し、それが実数であることを証明すること。
• スペクトルギャップを、周期的／反周期的固有値を端点とする安定ギャップと、共鳴を端点とする不安定ギャップに分類すること。
• 逆スペクトル理論を確立し、有限ギャップポテンシャルとそのスペクトルデータとの間の実解析的同型写像を示すこと。

提案手法

• 単一井戸型カーボンナノチューブをモデル化するため、ヘキサゴナル格子の周期的同相写像として、ゼイガグリッド $\Gamma^N$ を定義する。
• 頂点におけるキルホフ境界条件を満たす $L^2(\Gamma^N)$ 上のシュレーディンガー作用素 $H = -\partial^2 + q$ を定式化し、$q \in L^2(0,1)$ とする。
• リーマン面上で正則なライアプノフ関数を導入し、その分岐点（共鳴）が実数であることを示す。
• 伝搬行列とトレース公式の技法を用いて、高エネルギーにおける周期的／反周期的スペクトルおよび共鳴の漸近挙動を導出する。
• ポテンシャル $q$ をそのディリクレ固有値 $\mu_n$ とノーマル化定数 $h_n$ に関連付ける逆スペクトル理論を適用し、実解析的同型写像を確立する。
• スペクトルギャップ構造を用いて有限ギャップポテンシャルを解析し、端点に基づいて安定ギャップと不安定ギャップを区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的ゼイガグリッド上のポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素のスペクトル構造は何か？
• RQ2 ライアプノフ関数とその分岐点（共鳴）はスペクトルギャップとどのように関係するか？
• RQ3 周期的／反周期的固有値を端点とする安定ギャップと、共鳴を端点とする不安定ギャップの違いは何か？
• RQ4 スペクトルデータからポテンシャルを一意に再構成可能か？その再構成は実解析的か？
• RQ5 周期的／反周期的スペクトルおよび共鳴の高エネルギーにおける漸近的挙動は何か？

主な発見

• ゼイガグリッド上のシュレーディンガー作用素のスペクトルは、絶対的連続部分（ギャップを伴う区間）と無限重複度の固有値から成る。
• ライアプノフ関数のすべての分岐点（共鳴）は実数であり、特定のシート構造を持つリーマン面上で関数は正則である。
• 2種類のギャップが存在する：周期的・反周期的固有値を端点とする安定ギャップと、実数の共鳴を端点とする不安定ギャップ。
• 高エネルギーにおいて、周期的および反周期的スペクトルおよび共鳴の漸近挙動が導出され、$|\gamma_n| \to 0$ および $|G_{2n}| \to 0$ が $n \to \infty$ のとき成り立つ。
• 有限ギャップポテンシャルのクラスにおいて、ポテンシャル $q$ からそのスペクトルデータ（ディリクレ固有値およびノーマル化定数）への写像は実解析的同型写像である。
• $q \in L_{\text{even}}^2(0,1)$ のとき、ノーマル化定数 $h_n = 0$ であり、同型写像は $q \mapsto (q_0, (\varkappa_n(q))_{n=1}^\infty)$ に簡略化され、依然として実解析的である。