[論文レビュー] Schrödinger operators with complex-valued potentials and no resonances

T. J. Christiansen|ArXiv.org|Aug 26, 2004

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$d \geq 3$ および $d=2$ の次元において、非自明でコンパクトに台を持つ複素数値ポテンシャルを構成し、それに関連するシュレーディンガー作用素が共鳴状態を持たないことを示す。特定の角運動量依存性 $e^{im\theta}$ を用いることで、散乱位相が恒等的に 1（ラプラシアンと等位相）であることを示し、奇数次元 $d \geq 3$ では、固定された空間変数に対して、摂動された波動方程式の基本解が時間に関して超指数的減衰することを示す。

ABSTRACT

In dimension $d\geq 3$, we give examples of nontrivial, compactly supported, complex-valued potentials such that the associated Schrödinger operators have no resonances. If $d=2$, we show that there are potentials with no resonances away from the origin. These Schrödinger operators are isophasal and have the same scattering phase as the Laplacian on $\Real^d$. In odd dimensions $d\geq 3$ we study the fundamental solution of the wave equation perturbed by such a potential. If the space variables are held fixed, it is super-exponentially decaying in time.

研究の動機と目的

• 非自明でコンパクトに台を持つ複素数値ポテンシャルが、次元 $d \geq 3$ および $d=2$ において存在し、それに関連するシュレーディンガー作用素が共鳴状態を持たないことを示すこと。
• そのような作用素がラプラシアンと等位相である、すなわち散乱位相が恒等的に 1 に等しいことを示すこと。
• 奇数次元 $d \geq 3$ において、共鳴状態が存在しない場合に、摂動された波動方程式の基本解が時間に関して超指数的減衰することを確立すること。
• 非自明な実数値ポテンシャルが $d \geq 3$ において無限個の共鳴状態を持つべきという従来の理解に反して、複素数値ポテンシャルではそのような性質が成り立たないことを示すこと。
• 奇数次元における共鳴なしの結果に依存せずに、散乱位相の恒等式 $s_V(\lambda) \equiv 1$ を直接証明すること。

提案手法

• 円柱座標系において、$V(\rho,\theta,x') = e^{im\theta}V_1(\rho)V_2(x')$ の形をとるポテンシャルを構成し、$m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ とすることで、コンパクトな台と複素数値性を保証する。
• 作用素 $R_V(\lambda) = (\Delta + V - \lambda^2)^{-1}$ のリゾルベントのメロモルフィックな拡張を用いて、共鳴を複素平面（偶数次元では対数的被覆を用いる）の極として定義する。
• リゾルベント方程式 $R_V(\lambda) = R_0(\lambda) - R_V(\lambda) V R_0(\lambda)$ を用いて作用素の構造を解析し、リゾルベントノルムの境界を導出する。
• 複素 $\lambda$-平面におけるコーシー曲線の変形技術を用い、極の不在と $\|\langle x\rangle^{-s} R_V(\lambda) \langle x\rangle^{-s}\|$ の一様有界性を活用して、波動伝搬作用素を制御する。
• $H_\infty$ 機能的計算とスティーンの公式を用い、波動伝搬作用素 $G_V(t)$ をリゾルベントの差分の積分表現 $u_f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{-\infty}^\infty \sin(t\lambda)(R_V(\lambda) - R_V(-\lambda))f d\lambda$ で関連付ける。
• 下側半平面への曲線変形と $R_V(\lambda)$ のノルム推定を用いて、超指数的減衰を確立し、$O(e^{-t\beta})$ の形で減衰することを示す（任意の $\beta > 0$ に対して）。これは指数的減衰よりも速い減衰を意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明でコンパクトに台を持つ複素数値ポテンシャルが、次元 $d \geq 3$ において存在し、それに関連するシュレーディンガー作用素が共鳴状態を持たないことは可能か？
• RQ2 そのような共鳴なしの複素数値ポテンシャルの散乱位相の挙動は何か？ そしてラプラシアンと比べてどのように異なるか？
• RQ3 奇数次元 $d \geq 3$ において共鳴状態が存在しない場合、摂動された波動方程式の基本解が時間に関して超指数的減衰するか？
• RQ4 ポテンシャルに $e^{im\theta}$ の角依存性が存在する場合、スペクトル的および散乱的性質にどのような影響を与えるか？
• RQ5 実数値ポテンシャルに関する結果（例：共鳴数が無限大）が、複素数値ポテンシャルへと拡張できる範囲はどの程度か？

主な発見

• $d \geq 3$ に対して、非自明でコンパクトに台を持つ複素数値ポテンシャル $V$ が存在し、リゾルベント $R_V\left(\lambda\right)$ のメロモルフィックな拡張が極を持たない（すなわち共鳴状態がない）ことを示した。
• $d = 2$ に対しても、そのようなポテンシャルが存在し、原点を除いて共鳴状態が存在しない。
• 散乱位相 $\sigma_V(\lambda) = \log \det S_V(\lambda)$ は恒等的に 0 であり、$s_V(\lambda) \equiv 1$ である。これは、作用素がラプラシアンと等位相であることを意味する。
• 奇数次元 $d \geq 3$ において、摂動された波動方程式の基本解 $G_V(t,x,x')$ は、固定された空間変数 $x,x'$ に対して、任意の指数関数的減衰よりも速く時間に関して減衰する。
• 曲線変形と $R_V(\lambda)$ のノルム推定を用いて、波動伝搬作用素 $G_V(t)$ が超指数的減衰することを示し、任意の $\beta > 0$ に対して $\|\chi G_V(t) \chi\| = O(e^{-t\beta})$ が成り立つことを示した。
• 共鳴なしの結果に依存せずに、散乱位相の恒等式 $s_V(\lambda) \equiv 1$ の証明を、散乱行列とリゾルベント構造の直接的解析によって与えた。