[論文レビュー] Schrödinger operators with negative potentials and Lane-Emden densities

Lorenzo Brasco, Giovanni Franzina+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Sep 12, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$1 \leq q < 2$ に対して $-\Delta u = u^{q-1}$ を満たす解を用いた、Hardy型不等式を導出し、負のポテンシャルを伴うシュレーディンガー作用素が正のスペクトルを持つための十分条件を確立する。もしポテンシャル $V$ がそのような解の対数勾配の負の定数倍を超えるならば、$-\Delta + V$ の基底状態エネルギーは、ラプラシアンの第一ディリクレ固有値の正の定数倍で下から抑えられることが示される。

ABSTRACT

We consider the Schrödinger operator $-Δ+V$ for negative potentials $V$, on open sets with positive first eigenvalue of the Dirichlet-Laplacian. We show that the spectrum of $-Δ+V$ is positive, provided that $V$ is greater than a negative multiple of the logarithmic gradient of the solution to the Lane-Emden equation $-Δu=u^{q-1}$ (for some $1\le q&lt; 2$). In this case, the ground state energy of $-Δ+V$ is greater than the first eigenvalue of the Dirichlet-Laplacian, up to an explicit multiplicative factor. This is achieved by means of suitable Hardy-type inequalities, that we prove in this paper.

研究の動機と目的

• 負のポテンシャル $V$ を伴うシュレーディンガー作用素 $-\Delta + V$ が正のスペクトルを持つための条件を特定すること。
• 有界領域におけるディリクレ境界条件の下で $-\Delta + V$ の基底状態エネルギーを分析すること。
• Lane-Emden方程式とHardy型不等式を介して、スペクトルの下界との関係を確立すること。
• 第一ディリクレ固有値の関数として、基底状態エネルギーに対する明示的な乗法的下界を導出すること。
• 古典的なHardy不等式を、Lane-Emden密度および非定数重みを含む設定に一般化すること。

提案手法

• $1 \leq q < 2$ に対して $-\Delta u = u^{q-1}$ を満たす解の対数勾配を含む、新たなHardy型不等式を導出する。
• 変分法とSobolev埋め込みを用いて、非負解の $L^\infty$ ノルムを $L^2$ および $L^\gamma$ ノルムで制御する。
• 有界領域におけるLane-Emden方程式の解に対する $L^\infty$ 評価に、Moser反復技術を適用する。
• $N$ 次元の球および平板領域において、切り捨て関数とエネルギー推定を用いて反復的 $L^p$ ノルム推定を確立する。
• $L^2$ および $L^\gamma$ 空間におけるPoincaréおよびSobolev-Poincaré不等式を用いて $L^\infty$ 界を導出する。
• 反復過程における特異性を制御するため、パラメータ $\delta$ を導入して解を正則化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界領域におけるシュレーディンガー作用素 $-\Delta + V$ のスペクトルが非負となるような負のポテンシャル $V$ の条件は何か？
• RQ2 ポテンシャル $V$ が十分に負であるとき、$-\Delta + V$ の基底状態エネルギーは第一ディリクレ固有値とどのように関係するか？
• RQ3 Lane-Emden方程式の解を用いて、$-\Delta + V$ の二次形式を制御するHardy型不等式を構成できるか？
• RQ4 Lane-Emden解の対数勾配が、$-\Delta + V$ のスペクトル界を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $L^\infty$ 評価は、領域の幾何構造および $u^{q-1}$ の指数 $q$ にどのように依存するか？

主な発見

• ある $C > 0$ に対して $V \geq -C \cdot \nabla \log u \cdot u^{1-q}$ かつ $1 \leq q < 2$ で $-\Delta u = u^{q-1}$ を満たす $u$ が存在するならば、$\sigma(-\Delta + V) \geq 0$ が成り立つ。
• $-\Delta + V$ の基底状態エネルギーは、第一ディリクレ固有値 $\lambda_1(\Omega)$ の正の定数倍で下から抑えられ、具体的には $\inf \sigma(-\Delta + V) \geq C \cdot \lambda_1(\Omega)$ を満たす、明示的な定数 $C > 0$ が存在する。
• $N$ 次元の球において、非負解 $u$ の $L^\infty$ ノルムは、$\|u\|_{L^\infty(B_{R_0/2})} \leq C_N \cdot (640 \, T_N)^{N/4} \left( \fint_{B_{R_0}} u^2 \, dx + \delta \right)$ を満たす。ここで、$N$ および $q$ に依存する明示的な定数が含まれる。
• $N=2$ の場合、Sobolev-Poincaré埋め込みの最良定数 $\lambda_{2,\gamma}(B_1)$ を用いて、$\|u\|_{L^\infty(B_{R_0/2})} \leq C_\gamma \cdot (640 \, \lambda_{2,\gamma}(B_1)^{-1})^{\gamma/(2(\gamma-2))} \left( \fint_{B_{R_0}} (u+\delta)^2 \, dx \right)^{1/2}$ が得られる。
• $N=1$ の場合、$\|u\|_{L^\infty(-r_0,r_0)} \leq \frac{4\sqrt{5} \, R_0}{R_0 - r_0} \left( \fint_{-R_0}^{R_0} (u+\delta)^2 \, dx \right)^{1/2}$ が成り立ち、$r_0 = R_0/2$ である。これは領域のサイズに明示的な依存性を示す。
• 正則化のために $\delta = \left( \lambda (R_0/2)^2 \right)^{1/(2-q)}$ が導入され、Moser反復における収束を保証する。