[論文レビュー] Schrödinger type eigenvalue problems with polynomial potentials: Asymptotics of eigenvalues

Kwang C. Shin|ArXiv.org|Nov 7, 2004

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素平面上の多項式ポテンシャルを有するシュレーディンガー型作用素の固有値および固有値数関数について、特定の境界条件の下で漸近展開を導出する。PT対称性を有する次数 m ≥ 3 の多項式ポテンシャルに対して、すべての固有値のうち有限個を除き実かつ正であることを示し、固有値の漸近挙動からポテンシャル係数を再構成する手法を提供する。

ABSTRACT

For integers $m\geq 3$ and $1\leq\ell\leq m-1$, we study the eigenvalue problem $-u^{\prime\prime}(z)+[(-1)^{\ell}(iz)^m-P(iz)]u(z)=λu(z)$ with the boundary conditions that $u(z)$ decays to zero as $z$ tends to infinity along the rays $\arg z=-\fracπ{2}\pm \frac{(\ell+1)π}{m+2}$ in the complex plane, where $P(z)=a_1 z^{m-1}+a_2 z^{m-2}+...+a_{m-1} z$ is a polynomial. We provide asymptotic expansions of the eigenvalue counting function and the eigenvalues $λ_{n}$. Then we apply these to the inverse spectral problem, reconstructing some coefficients of polynomial potentials from asymptotic expansions of the eigenvalues. Also, we show for arbitrary $\mathcal{PT}$-symmetric polynomial potentials of degree $m\geq 3$ and all symmetric decaying boundary conditions that the eigenvalues are all real and positive, with only finitely many exceptions.

研究の動機と目的

• 複素平面上の多項式ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素の固有値数関数および個々の固有値についての漸近展開を導出すること。
• 固有値の漸近的データから多項式ポテンシャルの係数を再構成することによって逆スペクトル問題に取り組むこと。
• PT対称性を有する次数 m ≥ 3 の多項式ポテンシャルに対して、すべての固有値のうち有限個を除き実かつ正であることを証明すること。
• アンハーモニック・オシレーターに関する既知の結果を、より広いクラスの複素境界条件および多項式ポテンシャルへ一般化すること。
• C^{m-1} 内のコンパクト集合上で一様に有効な漸近展開を提供すること。

提案手法

• 次数 m ≥ 3 の非自己共役作用素に対する複素 WKB 解析およびスペクトル理論を用いる。
• Sibuya の理論を応用し、複素平面上の特定の方向に沿った境界条件を有する複素ポテンシャル問題の固有値構造を解析する。
• n → ∞ のとき、(2n+1)πi = ∑_{j=0}^{\lfloor(m+2)/2\rfloor} d_{\ell,j}(a) λ_n^{1/2 - (j-1)/m} + o(1) の形の漸近展開を導出する。ここで係数 d_{\ell,j}(a) はポテンシャル係数 a に依存する。
• 多重添字記法およびベータ関数の恒等式を用いて、係数 d_{\ell,j}(a) を計算し、特に積分 K_{m,j,k} とガンマ関数を含む。
• ベータ関数 B(z,w) = ̺̺̺ を用いた積分表現および変換を適用し、重要な定数 K_{m,j,k} をガンマ関数の形に表現する。
• 解析接続および一様収束の議論を用いて、o(1) の誤差項が C^{m-1} のコンパクト集合上で一様に成り立つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素境界条件の下で、多項式ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素の固有値数関数の漸近的挙動は何か？
• RQ2 多項式ポテンシャルの係数は、その固有値の漸近展開からどのように再構成できるか？
• RQ3 PT対称性を有する多項式ポテンシャルの固有値が実かつ正であるための条件は何か？
• RQ4 非自己共役シュレーディンガー作用素の複素多項式ポテンシャルに対する固有値スペクトルの構造は何か？
• RQ5 漸近展開における係数 d_{\ell,j}(a) は、ポテンシャルの係数ベクトル a ∈ C^{m-1} にどのように依存するか？

主な発見

• 固有値数関数は、n → ∞ のとき (2n+1)πi = ∑_{j=0}^{\lfloor(m+2)/2\rfloor} d_{\ell,j}(a) λ_n^{1/2 - (j-1)/m} + o(1) を満たし、係数 d_{\ell,j}(a) はガンマ関数およびベータ関数を用いて明示的に計算可能である。
• PT対称性を有する次数 m ≥ 3 のポテンシャルに対して、すべての固有値のうち有限個を除き実かつ正である。これは m=4 および β=1 の場合に既知の結果を拡張する。
• 固有値の先頭項の漸近的挙動は、n → ∞ のとき λ_n ∼ C_m (n + 1/2)^{2m/(m+2)} で与えられ、C_m = ̺̺̺ は ̺̺̺ および ̺̺̺ を含む。
• ポテンシャルの係数は、固有値の漸近展開から再構成可能であり、特に j ≥ 2 のとき d_{\ell,j}(a)/d_{\ell,0}(a) の比を用いる。
• 定数 K_{m,j,k} は明示的に計算可能である：K_{m,1,1} = -2/m であり、1 ≤ k ≤ j ≤ (m+1)/2 かつ j ≠ 1 のとき、K_{m,j,k} = - (2k-1)/(m+2-2j) B(k - (j-1)/m, 1/2 + (j-1)/m) である。
• 偶数 m および j = (m+2)/2 の場合、K_{m,j,k} は調和級数 ∑_{i=1}^{k-2} 1/(2i-1) を含み、対数補正項が付加される。