[論文レビュー] Schreier graphs of actions of Thompson's group F on the unit interval and on the Cantor set

Dmytro Savchuk|arXiv (Cornell University)|May 20, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、標準的生成集合 {x₀, x₁} を用いて、単位区間およびカントール集合への作用を考えるトーマプン群 F のシュレーアー図形を構成する。区間 (0,1) 内の点のシュレーアー図形は、アメーブルで、無限個の端を持ち、互いに同型でない。非点付きの図形は、点が同じ軌道上にある場合に限り同型である。シュレーアー力学系の完全核は、F がカントール集合に作用する標準的作用と位相的同相である。

ABSTRACT

Schreier graphs of the actions of Thompson's group $F$ on the orbits of all points of the unit interval and of the Cantor set with respect to the standard generating set $\\{x_0,x_1\\}$ are explicitly constructed. The closure of the space of pointed Schreier graphs of the action of $F$ on the orbits of dyadic rational numbers and corresponding Schreier dynamical system are described. In particular, we answer the question of Grigorchuk on the Cantor-Bendixson rank of the underlying space of the Schreier dynamical system in the context of $F$. As applications we prove that the pointed Schreier graphs of points from $(0,1)$ are amenable, have infinitely many ends, and are pairwise non-isomorphic. Moreover, we prove that points $x,y\\in(0,1)$ have isomorphic non-pointed Schreier graphs if and only if they belong to the same orbit of $F$.

研究の動機と目的

• 単位区間およびカントール集合における点の軌道へのトーマプン群 F の作用に対するシュレーアー図形を明示的に構成すること。
• 二進分数の点付きシュレーアー図形の空間の閉包を記述し、関連するシュレーアー力学系を分析すること。
• グリゴルチキンの質問、すなわち F のシュレーアー力学系の底面空間のカントール＝ベンディクソン階数を解明すること。
• シュレーアー図形の同型条件を確立し、アメーブル性や端の数といった構造的性質を特徴づけること。
• 1つの軌道から構成されるシュレーアー力学系が、F がカントール集合に作用する完全な作用を回復することを示すこと。

提案手法

• トーマプン群 F の標準的生成集合 {x₀, x₁} を用いてシュレーアー図形を構成する。
• F が二進分数およびカントール集合に作用することを用い、軌道とそれに対応するシュレーアー図形を定義する。
• 二進展開による頂点ラベル化と再帰的な木構造の構成を用いてシュレーアー図形の構造を分析する。
• 位相的同相性の議論を適用し、シュレーアー力学系の完全核がカントール集合への標準的作用と同相であることを示す。
• 近傍同型性の議論とパスの持ち上げ技術を用いて、異なる点に対する点付き図形が同型でないことを証明する。
• 反復モノドロミー群およびシュレーアー図形のジュリア集合への収束に関する結果を活用し、構造的洞察を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーマプン群 F が (0,1) 内の点の軌道およびカントール集合に作用する際のシュレーアー図形の構造は何か？
• RQ2 F のシュレーアー力学系における点付きシュレーアー図形の空間のカントール＝ベンディクソン階数は何か？
• RQ3 二つの点 x, y ∈ (0,1) の点付きシュレーアー図形が同型となる条件は何か？
• RQ4 二つの点 x, y ∈ (0,1) の非点付きシュレーアー図形が同型となる条件は何か？
• RQ5 1つの軌道から構成されるシュレーアー力学系が、F がカントール集合に作用する完全な作用を回復するか？

主な発見

• 区間 (0,1) 内の点のシュレーアー図形は、アメーブルで、無限個の端を持ち、点付き図形として互いに同型でない。
• 二進分数の軌道に対する点付きシュレーアー図形の空間の閉包の完全核は、F がカントール集合に作用する標準的作用と位相的同相である。
• 点 x, y ∈ (0,1) の非点付きシュレーアー図形が同型であるための必要十分条件は、x と y が F による同じ軌道上にあることである。
• 任意の x ∈ (0,1) の軌道から構成されるシュレーアー力学系の完全核は、F が {0,1}^ω に作用する標準的作用と位相的同相である。
• カントール集合の有限部分集合の安定化部分群のシュレーアー図形は、境界サイズが 2 である任意に長い線分の存在により、アメーブルである。
• 非点付きシュレーアー図形の同型類は、点の軌道にのみ依存し、二進展開のテイル同値性によって決定される。