[論文レビュー] Schrodinger Operators with Purely Discrete Spectrum

Barry Simon|ArXiv.org|Oct 17, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、無限遠で $V$ が無限大に発散しない場合でも、シュレーディンガー作用素 $-\Delta + V$ が純粋に離散スペクトルを持つための十分条件を確立する。$V(x) < M$ となる集合 $\{x \mid V(x) < M\}$ がすべての $M > 0$ に対して有限のレプレークス測度を持つならば、リゾルベントはコンパクトであり、これは純粋に離散スペクトルを意味する。この結果は、これらの集合が $r$-多項式的になめらかである場合に拡張され、$V(x_1,x_2) = x_1^2x_2^2$ のような古典的条件を満たさない例をカバーする。

ABSTRACT

We prove $-Δ+V$ has purely discrete spectrum if $V\geq 0$ and, for all $M$, $|\{x\mid V(x)

研究の動機と目的

• 非負なポテンシャル $V$ に対して、シュレーディンガー作用素 $H = -\Delta + V$ が純粋に離散スペクトルを持つような一般的で検証可能な条件を特定すること。
• 無限遠で $V(x) \to \infty$ となるという古典的結果を、$V$ が無限遠で発散しない場合にまで拡張すること。
• 部分レベル集合の測度論的および幾何的性質に基づく、離散スペクトルを特徴付ける枠組みを提供すること。
• 有限測度の部分レベル集合を越えて、部分レベル集合が $r$-多項式的になめらかであるようなポテンシャルにまで基準を一般化すること。

提案手法

• 純粋に離散スペクトルの基準として、半群 $e^{-sH}$ 及びそのコンパクト性を用いる。コンパクトなリゾルベントとコンパクトな半群の同値性に依拠する。
• 半群の作用素不等式に適用するセガールの補題を用いて、積 $e^{-sL_0}e^{-sV}$ のノルムを制御する。
• 特に $\|e^{-sL_0}\chi_{\Omega_M}\|_{HS}^2 \leq C \mu(\Omega_M)$ を境界づける積分核推定を介して、コンパクト性をヒルベルト＝シュミット性に還元する。
• $r$-多項式的になめらかさの条件の導入：すべての $\ell > 0$ に対して $\int_{x \in \Omega_M} \omega_x^{\ell}(\Omega_M)^r \, d^\nu x < \infty$ が成り立つこと。これにより、有限測度条件を一般化する。
• Heatカーネルの畳み込み近似 $F_R$ を $e^{\Delta}$ に用い、ノルム推定を用いて、$r$-多項式的になめらかさ条件が成り立つとき $F_R \chi_{\Omega_M}$ がコンパクトであることを示す。
• 帰納法および支配性の議論を用いて、$\Omega_M$ に関連する積分作用素 $D$ のべきが、薄さ条件が成り立つときヒルベルト＝シュミットであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負ポテンシャル $V$ に対して、$|x| \to \infty$ のとき $V(x)$ が無限大に発散しない場合でも、シュレーディンガー作用素 $H = -\Delta + V$ が純粋に離散スペクトルを持つための条件は何か？
• RQ2 古典的十分条件 $\lim_{|x|\to\infty} V(x) = \infty$ は、部分レベル集合 $\{x \mid V(x) < M\}$ のより一般な幾何的または測度論的性質に弱体化できるか？
• RQ3 有限測度の部分レベル集合を持つポテンシャルを超えて、コンパクトリゾルベントをもたらすより広いクラスのポテンシャルは存在するか？
• RQ4 $V$ が直線上で消え、$\lim_{|x|\to\infty} V(x) = \infty$ を満たさない $V(x_1,x_2) = x_1^2x_2^2$ のようなポテンシャルに対しても、基準を拡張できるか？
• RQ5 部分レベル集合 $\Omega_M = \{x \mid V(x) < M\}$ が、$H$ が純粋に離散スペクトルを持つために満たすべき幾何的または測度論的性質は何か？

主な発見

• すべての $M > 0$ に対して $\lvert \{x \mid V(x) < M\} \rvert < \infty$ ならば、$H = -\Delta + V$ は純粋に離散スペクトルを持つ。これは $V$ が無限遠で発散しない場合でも成り立つ。
• この結果は、部分レベル集合 $\Omega_M$ が $r$-多項式的になめらかである場合にまで拡張される。すなわち、すべての $\ell > 0$ に対して $\int_{\Omega_M} \omega_x^{\ell}(\Omega_M)^r \, d^\nu x < \infty$ が成り立つ場合であり、$V(x_1,x_2) = x_1^2x_2^2$ のような例も含む。
• $\nu$ 変数の多項式 $P(x)$ で、任意の方向において $\nabla P$ が恒等的にゼロにならないものに対して、$V(x) = P(x)^2$ は $r$-多項式的になめらかさ条件を満たし、したがって純粋に離散スペクトルを持つ。
• 証明は、有限測度または薄さ条件のもとで $e^{-sL_0}\chi_{\Omega_M}$ がヒルベルト＝シュミットであることを示すことにより、リゾルベントのコンパクト性を導く。
• セガールの補題を用いて半群ノルムを制御し、ダンフォース＝ペティスの定理を用いて積分核が $L^2$ に属することを保証し、ヒルベルト＝シュミット推定を可能にする。
• $e^{-sH}$ のコンパクト性は、熱核の近似と、切断された作用素 $F_R \chi_{\Omega_M}$ が $e^{\Delta}\chi_{\Omega_M}$ にノルムで収束することを示すことにより確立され、その結果、$e^{\Delta}\chi_{\Omega_M}$ はコンパクトである。