[論文レビュー] Schrodinger revisited: an algebraic approach

M. R. Brown, B. J. Hiley|ArXiv.org|May 4, 2000

Quantum Mechanics and Applications参考文献 34被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、演算子代数を用いた表現に依存しないシュレーディンガー図式の代数的定式化を提示する。量子力学的ダイナミクスは、ハミルトニアンと密度作用素の交換子を含む連続の方程式と、反交換子を含むエネルギー保存則を満たす位相進化方程式の2つの代数的方程式によって表現される。主な貢献は、非可換代数的構造を通じてド・ブロイ＝ボーム解釈とゲージ位相を再解釈する統一的かつ表現依存のない枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

Starting with the quantum Liouville equation, we write the density operator as the product of elements respectively in the left and right ideals of an operator algebra and find that the Schrodinger picture may be expressed through two representation independent algebraic forms in terms of the density and phase operators. These forms are respectively the continuity equation, which involves the commutator of the Hamiltonian with the density operator, and an equation for the time development of the phase operator that involves the anti-commutator of the Hamiltonian with this density operator. We show that this latter equation plays two important roles: (i) it expresses the conservation of energy in a system where energy is well defined and (ii) it provides a simple way to evaluate the gauge changes that occur in the Aharonov-Bohm, the Aharonov-Casher, and Berry phase effects. Both these operator (i.e. purely algebraic) equations also allow us to re-examine the Bohm interpretation, showing that it is in fact possible to construct Bohm interpretations in representations other than the x-representation. We discuss the meaning of the Bohm interpretation in the light of these new results in terms of non-commutative structures and this enables us to clarify its relation to standard quantum mechanics.

研究の動機と目的

• 代数的構造を用いて、表現に依存しない形でシュレーディンガー図式を再定式化すること。
• 量子系の時間発展が、密度作用素と位相作用素を用いて完全に代数的に記述可能であることを示すこと。
• 位相作用素の方程式が、エネルギー保存則と幾何位相（アハロノフ＝ボーム、アハロノフ＝カシャー、ベリー）の統一的記述を提供することを示すこと。
• x-表現を超えて、複数の位相空間における軌道に基づくモデルを構築することで、ド・ブロイ＝ボーム解釈を一般化すること。
• 非可換代数的構造内でのド・ブロイ＝ボーム解釈の実在的性質を明確にし、古典的時空に代えてプロセスの内蔵的順序（イムプリンシット・オーダー）を導入すること。

提案手法

• 量子リウヴィル方程式に着目し、C*-代数の左および右イデアルに属する要素の積として密度作用素を因数分解する。
• 2つの代数的方程式を導出する：ハミルトニアンと密度作用素の交換子を含む密度作用素の方程式、およびハミルトニアンと密度作用素の反交換子を含む位相作用素の方程式。
• 代数的構造を用いて、x-表現およびp-表現の両方における一般化された電流密度作用素を定義する。
• 一意な古典的位相空間が存在しない非可換量子プロセスを表現するため、シャドウ位相空間（x-位相空間およびp-位相空間）を構築する。
• 位相方程式のゲージ不変性を示し、幾何位相を反交換子方程式から直接導出する。
• 量子ポテンシャルを、非古典的軌道における運動エネルギーの非保存を補償する内部エネルギー項として再解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー図式は、代数的作用素構造を用いて表現に依存しない形で定式化可能か？
• RQ2 反交換子に基づく位相進化方程式は、エネルギー保存則と幾何位相の記述をどのように統一するか？
• RQ3 代数的ダイナミクスを用いることで、ド・ブロイ＝ボーム解釈をx-表現を超えて一貫して拡張可能か？
• RQ4 非可換代数の役割は、古典的位相空間に代わって複数のシャドウ位相空間を生じさせるものか？
• RQ5 非可換代数に基づくイムプリンシット・オーダー枠組みは、量子プロセスおよび軌道の実在的性質をどのように解消するか？

主な発見

• シュレーディンガー図式は、表現に依存しない2つの代数的方程式として記述可能である：確率保存則を表す交換子形式の方程式と、位相進化を表す反交換子形式の方程式。
• 位相作用素の方程式（20）は、アハロノフ＝ボーム、アハロノフ＝カシャー、ベリー位相を直接代数的に導出可能であり、それらがゲージ不変性に起因する共通の起源を持つことを示している。
• エネルギー保存則の方程式（20）は、非古典的軌道における運動エネルギーの不均衡を補償するために、量子ポテンシャルが内部エネルギー源として機能することを明示的に示している。
• 電流密度作用素を一般化することで、x-表現およびp-表現の両方で一貫したド・ブロイ＝ボーム解釈を構築可能であり、x-表現が実在的に優位であるとは限らないことを示している。
• 非可換代数の構造から生じる複数のシャドウ位相空間（x-位相空間およびp-位相空間）の存在は、一意な古典的位相空間の不在を示しており、イムプリンシット・オーダー解釈を支持している。
• 量子ポテンシャルは外部力ではなく、代数的構造に由来する内部エネルギー項であり、その値は反交換子方程式によって決定され、全エネルギー保存則を保証している。