[論文レビュー] Schubert calculus and cohomology of Lie groups. Part I. 1-connected Lie groups

Haibao Duan, Xuezhi Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 35被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$G_2, F_4, E_6, E_7, E_8$ を含むすべての1連結なコンパクトなリー群 $G$ に対して、シューベルト計算に基づく一様な構成法により、整数係数コホモロジー環 $H^*(G;\mathbb{Z})$ を提示する。ファイブレーション $T \to G \to G/T$ の Leray–Serre 譜系を用い、シューベルト類と関係式による $H^*(G/T)$ の明示的表現を通じて、$H^*(G)$ の生成子と関係式を導出し、代数トポロジーにおける長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact and $1$--connected Lie group with a maximal torus $T$. Based on Schubert calculus on the flag manifold $G/T$ [15] we construct the integral cohomology ring $H^{\ast}(G)$ uniformly for all $G$.

研究の動機と目的

• すべての1連結なコンパクトなリー群 $G$ に対して、$H^*(G;\mathcal{R})$ の統一的で型に依存しない記述を構成するという長年の問題を解決すること。
• $G_2, F_4, E_6, E_7, E_8$ の5つの例外的リー群の整数係数コホモロジー環を明示的かつ一様に特定すること。
• 分類に依存しない体系的な方法を、シューベルト計算と譜系に基づいて提供すること。

提案手法

• ファイブレーション $T \to G \to G/T$ の Leray–Serre 譜系を用い、$E_2$-頁を $E_2^{\ast,\ast}(G;\mathcal{R}) = H^\ast(G/T) \otimes \Lambda_{\mathcal{R}}^\ast(t_1,\dots,t_n)$ と定める。
• 定理1.2を適用し、$H^\ast(G/T)$ を $\mathbb{Z}[\omega_1,\dots,\omega_n, y_1,\dots,y_m]/\langle h_i, f_j, g_j \rangle$ としての商環として表現する。ここで $\omega_i$ は基本的ウェイト、$y_j$ はシューベルト類である。
• 写像 $\varphi: \langle \omega_1,\dots,\omega_n \rangle \to E_2^{\ast,1}(G;\mathcal{R})$ を $\varphi(P) = \sum p_i \otimes t_i$ で定義し、$H^\ast(G/T)$ の関係を譜系へと持ち上げる。
• $E_3^{2k,1}(G;\mathcal{R}) \to H^{2k+1}(G;\mathcal{R})$ の自然な準同型 $\kappa$ を用い、$E_3$-類を $H^\ast(G;\mathcal{R})$ のコホモロジー類として解釈する。
• 譜系のデータと $H^\ast(G/T)$ からの多項式関係 $h_i, f_j, g_j$ を組み合わせることで、$H^\ast(G;\mathcal{R})$ の明示的生成子と関係式を構成する。
• $H^\ast(G;\mathbb{F}_p)$ の torsion を、同型 $r_p: \sigma_p(G) \to \operatorname{Im}\delta_p$ を用い、関係式 (4.2) を用いて $\xi_{s-1}^2$ を評価することで取り扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1連結なコンパクトなリー群 $G$ の整数係数コホモロジー環 $H^*(G;\mathbb{Z})$ は、$G$ のディンキン型に依存しない一様な構成が可能か？
• RQ2 $E_8$, $E_7$, $E_6$, $F_4$, $G_2$ の例外的リー群のコホモロジー環 $H^*(G;\mathbb{Z})$ の構造は何か？
• RQ3 $H^*(G/T)$ に現れる関係、特にシューベルト類と基本的ウェイトを含む関係が、どのように譜系を通じて $H^*(G)$ に翻訳されるか？
• RQ4 $E_2$-微分 $d_2(x \otimes t_k) = x\omega_k \otimes 1$ は、$G$ のコホモロジーを決定するために果たす役割は何か？
• RQ5 $p=2,3,5$ の場合に、$H^*(G;\mathbb{F}_p)$ の torsion クラスは、$G$ の基本的データによってどのように制御されるか？

主な発見

• 本稿は、すべての1連結なコンパクトなリー群、特に5つの例外的群を含む $H^*(G;\mathbb{Z})$ の完全で一様な構成を提供し、問題1.1を解決する。
• $G = E_8$ の場合、関係 $\phi = 2y_4^5 - y_6^3 + y_7^2 + \beta = 0$（ただし $\beta \in \langle \omega_1,\dots,\omega_8 \rangle$）が非自明であり、$g_4, g_6, g_7$ 間の複雑な関係を誘導する。
• 整数係数コホモロジー環 $H^*(G;\mathbb{Z})$ は、シューベルト類の引き戻し $x_s = \pi^*(y_i)$ とウェイト多項式の持ち上げ $\varphi(P)$ によって生成され、関係は $h_i, f_j, g_j$ から導出される。
• $H^*(G;\mathbb{F}_p)$ の torsion は、基本的データ $d^1(G;p)$ と $\overline{d}^1(G;p)$ によって制御され、関係 $\mathcal{F}_s$ と $\mathcal{H}_{s,I}$ は明示的に計算されている。
• $H^*(G;\mathbb{Z})$ の構造は、関係を除いた自由な外積代数と多項式代数の自由な直積として示され、自由な平方を持つ要素 $\varrho_{s-1}$ によって自由部分が決定される。
• すべての古典的および例外的1連結リー群について、表5.1および表5.2に $\{\deg h_i\}$, $\{\deg y_j\}$, $\{p_j\}$, $\{k_j\}$ の基本的データが整理され、コホモロジー環の完全な不変量が得られている。