[論文レビュー] Schubert slices in the combinatorial geometry of flag domains

Ana-Maria Brecan|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Weyl群の元に対する一般化された厳密ペアリング条件を用いて、旗多様体の軌道と横断的に有限個の点で交わるIwasawa-Schubert多様体の組合せ的特徴づけを提供する。$SL(n,\mathbb{C})$ のすべての実形式について、そのようなSchubert多様体の正確な個数を計算し、$SL(n,\mathbb{R})$、$SL(m,\mathbb{H})$、$SU(p,q)$ について明示的な構成を与える。また、旗データとWeyl群の元の標準的再配置を用いて、交点の点を明示的なアルゴリズムで記述する。

ABSTRACT

Flag domains are open orbits of real semisimple Lie groups in flag manifolds of their complexifications. Certain group theoretically defined compact complex submanifolds, which are regarded as cycles, are of basic importance for their complex geometric and representation theoretic properties. It is known that there are optimal Schubert varieties which intersect the cycles transversally in finitely many points and in particular determine them in homology. Here we give a precise description of these Schubert varieties in terms of certain subsets of the Weyl group and compute their total number for all the real forms of SL(n,C). Furthermore, we give an explicit description of the points of intersection in terms of flags and their number.

研究の動機と目的

• 横断的に有限個の点で交わるSchubert多様体の完全な組合せ的記述を提供すること。
• $SL(n,\mathbb{C})$ のすべての実形式、特に $SL(n,\mathbb{R})$、$SL(m,\mathbb{H})$、$SU(p,q)$ を含めて、そのようなSchubert多様体の総数を計算すること。
• これらのSchubert多様体と開軌道との交点を、旗とWeyl群のデータに基づいて明示的なアルゴリズムで記述すること。
• 基本サイクル $C_0$ を高次元の旗多様体へ標準的に上げるのを定義し、一般化された厳密ペアリング条件と関連付けること。
• 基本サイクルのホモロジー類を、これらのIwasawa-Schubert多様体によってインデックスづけられたSchubert類の和として表すホモロジー類の公式を確立すること。

提案手法

• Iwasawa成分 $A_0N_0$ を含む $G$ のBorel部分群 $B_I$ としてのIwasawa-Borel部分群の概念を導入し、$Z=G/P$ における $B_I$-軌道の閉包としてIwasawa-Schubert多様体を定義する。
• Iwasawa分解 $G_0 = K_0A_0N_0$ を用いて、旗多様体内の開軌道を標準的にパラメトライズする $\alpha$ を定義し、これにより基本サイクル $C_0$ の構造を符号化する。
• Weyl群の元 $w$ に対して、$h_j < q$、$g_j > n-q$、$k_j \in \{q+1,\dots,p\}$ を含む列のブロックごとの再配置を用いて、一般化された厳密ペアリング条件を定義する。これにより、標準的再配置 $\hat{w}$ が標準的厳密ペアリング条件を満たすことが保証される。
• 各ブロック内の要素を再配置して厳密ペアリング条件を満たす標準的再配置手順を適用し、$S_{\hat{w}}$ と $S_w$ の次元の差 $\sum a_i b_i$ が次元の低下を表す。
• 複素化された旗多様体から $Z=G/P$ への射影写像 $\pi$ を用いて、$S_{\hat{w}}$-不変なサイクルと元の旗多様体における $S_w$ を関連付け、開軌道との横断的交わりを保証する。
• Barlet空間 $C^q(D)$ と $C_0$ におけるサイクル空間の滑らかさを用いて、横断的スライスとホモロジー類の公式 $[C_0^\alpha] = \sum_{S \in \mathcal{S}_{C_0}^\alpha} [S]$ の正当化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのSchubert多様体 $G/P$ が、与えられた旗多様体の軌道 $D_{a,b}$ と横断的に有限個の点で交わるか？
• RQ2 $SL(n,\mathbb{C})$ の各実形式について、そのようなSchubert多様体の総数は何か？
• RQ3 これらのSchubert多様体と開軌道との交点を、旗とWeyl群のデータに基づいてどのように明示的に記述できるか？
• RQ4 Weyl群の元 $w$ に対して、$S_w$ が与えられた旗多様体のIwasawa-Schubert多様体であるための正確な組合せ的条件は何か？
• RQ5 基本サイクル $C_0$ を高次元の旗多様体に標準的に上げる方法は、一般化された厳密ペアリング条件とどのように関連するか？

主な発見

• Schubert多様体 $S_w$ が開軌道 $D_{a,b}$ のIwasawa-Schubert多様体であるための必要十分条件は、$w$ が一般化された厳密ペアリング条件を満たすことである。これにより、その標準的再配置 $\hat{w}$ が標準的厳密ペアリング条件を満たすことが保証される。
• 開軌道 $D_{a,b}$ と交わる次元 $pq$ のようなSchubert多様体の個数は、二項係数 $\binom{f_1 + f_2}{f}$ で与えられる。ここで $f_1 = \min(a_1, b_1)$、$f_2 = \min(a_2, b_2)$、$f = \max(f_1, f_2)$ である。
• 例として、$Z = Gr(5,11)$、$G_0 = SU(7,4)$、パラメータ $a_1=3, a_2=1, b_1=2, b_2=5$ の場合、そのようなSchubert多様体の個数は $\binom{3}{2} = 3$ であり、列 $1281011345679$、$1389112456710$、$2389101456711$ を用いて明示的に実現される。
• Schubert多様体 $S_w$ と開軌道 $D_{a,b}$ の交点は、$w$ と標準的パラメトライズ $\alpha$ に一般化された厳密ペアリング条件アルゴリズムを適用することで一意に決定される。
• 旗多様体 $Z=G/P$ における基本サイクル $C_0^\alpha$ のホモロジー類は、$\mathcal{S}_{C_0}^\alpha$ に属するすべてのIwasawa-Schubert多様体のSchubert類の和に等しく、すなわち $[C_0^\alpha] = \sum_{S \in \mathcal{S}_{C_0}^\alpha} [S]$ が成り立つ。
• 基本サイクル $C_0$ の標準的上げ $\hat{C}_0$ は、$w$ の標準的再配置 $\hat{w}$ に関連し、次元の低下 $\dim S_{\hat{w}} - \dim S_w = \sum a_i b_i$ が一般化ペアリング条件を正確に特徴づける。