[論文レビュー] Schubert varieties and distances between subspaces of different dimensions

Ke Ye, Lek‐Heng Lim|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Grassmann多様体内のSchubert多様体への距離として定義することにより、次元が異なる部分空間へのGrassmann距離の自然な拡張を提案する。この距離は、標準的なGrassmann距離を一般化しており、SVDを用いた計算が可能であり、埋め込み空間の次元に依存せず、不等次元部分空間に対して幾何学的に整合的かつ数値的に安定な計量を提供する。

ABSTRACT

We resolve a basic problem on subspace distances that often arises in applications: How can the usual Grassmann distance between equidimensional subspaces be extended to subspaces of different dimensions? We show that a natural solution is given by the distance of a point to a Schubert variety within the Grassmannian. This distance reduces to the Grassmann distance when the subspaces are equidimensional and does not depend on any embedding into a larger ambient space. Furthermore, it has a concrete expression involving principal angles, and is efficiently computable in numerically stable ways. Our results are largely independent of the Grassmann distance --- if desired, it may be substituted by any other common distances between subspaces. Our approach depends on a concrete algebraic geometric view of the Grassmannian that parallels the differential geometric perspective that is well-established in applied and computational mathematics.

研究の動機と目的

• 異なる次元の部分空間間の幾何学的に整合的な距離を定義するという根本的問題を解決すること。
• 等次元部分空間にのみ有効な標準的なGrassmann距離を、より一般的な不等次元部分空間のケースに拡張すること。
• 埋め込み空間の座標や基底の選択に依存しない距離測度を提供し、代数幾何学に裏付けられたものとすること。
• 包含関係とその逆包含関係の間の体積的双対性を確立し、Grassmann多様体上での確率と幾何学を結びつけること。
• 等次元の場合に古典的なGrassmann距離に還元され、数値的に安定なSVDに基づく計算手法を提供すること。

提案手法

• k次元部分空間Aとl次元部分空間B（k ≤ l）の間の距離を、Bに含まれるk次元部分空間の中でAに最も近いものの距離、あるいは同値に言えば、Aを含むl次元部分空間の中でBに最も近いものの距離として定義する。
• この距離は、Gr(k,n)におけるGrassmann多様体内での点からSchubert多様体への測地線距離として定義され、Grassmann多様体の代数的幾何的構造を活用する。
• 直交射影と主角度を用いて、行列積の特異値で距離を表現し、SVDを用いた効率的かつ数値的に安定な計算を可能にする。
• 部分空間とその包含関係を、対称的かつ冪等な行列の空間に埋め込み、Grassmann多様体上のリーマン幾何学と体積形式の利用を可能にする。
• 本稿では、体積的双対性を導出する：ランダムに選ばれたl次元部分空間がAを含む確率は、ランダムに選ばれたk次元部分空間がBに含まれる確率に等しく、両者ともk, l, nにのみ依存する。
• またはthonormal基底の選択に依存せず、より高い次元の空間への埋め込みも不要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等次元部分空間間のGrassmann距離を、次元が異なる部分空間へ自然に拡張する方法は何か？
• RQ2 不等次元部分空間間の距離に対応するGrassmann多様体上の幾何的対象は何か？
• RQ3 等次元の場合に標準的なGrassmann距離に還元され、座標変換に対して不変である距離測度は存在するか？
• RQ4 不等次元部分空間間の距離を、標準的な数値線形代数ツールを用いて安定的かつ効率的に計算できるか？
• RQ5 Grassmann多様体上での包含確率と幾何的距離の関係は何か？

主な発見

• k次元部分空間Aとl次元部分空間B（k ≤ l）の間の距離は、Bに含まれるk次元部分空間のSchubert多様体への測地線距離として定義され、この値はBからAを含むl次元部分空間のSchubert多様体への距離に等しい。
• この距離は標準的なGrassmann距離を一般化する：k = lの場合、主角度とSVDを用いて定義される古典的なGrassmann距離に正確に還元される。
• 距離はorthonormal基底の選択に依存せず、任意の埋め込み空間の次元にも依存しないため、座標不変性が保証される。
• 特異値分解（SVD）を用いて効率的に計算可能であり、部分空間間の主角度を用いた明示的な式で表現できる。
• 固定されたl次元部分空間に含まれるk次元部分空間のSchubert多様体の相対体積は、固定されたk次元部分空間を含むl次元部分空間のSchubert多様体の相対体積に等しく、両者ともガンマ関数と二項係数を用いた閉形式で与えられる。
• ランダムに選ばれたl次元部分空間がAを含む確率は、ランダムに選ばれたk次元部分空間がBに含まれる確率に等しく、この確率はAやBの具体的な内容に依存せず、k, l, nにのみ依存する。