[論文レビュー] Schur multipliers and de Branges-Rovnyak spaces: the multiscale case

Daniel Alpay, Aad Dijksma+1 more|ArXiv.org|May 12, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、同型木を用いてシュール乗数およびド・ブランジュ＝ロヴニャク空間をマルチスケール設定に一般化し、非可換点評価とコーシーの公式が成り立つ再生核ヒルベルト空間を導入する。シュール乗数をマルチスケール入力-状態-出力システムにおける伝達演算子として共等長的実現化することにより、古典的な単一スケール結果を非定常的かつ非可換な設定に拡張する。Cuntz関係式および木に基づくシフト作用素を用いる。

ABSTRACT

We consider bounded linear operators acting on the $\ell_2$ space indexed by the nodes of a homogeneous tree. Using the Cuntz relations between the primitive shifts on the tree, we generalize the notion of the single-scale time-varying point evaluation and introduce the corresponding reproducing kernel Hilbert space in which Cauchy's formula holds. These notions are then used in the study of the Schur multipliers and of the associated de Branges-Rovnyak spaces. As an application we obtain realization of Schur multipliers as transfer operators of multiscale input-state-output systems.

研究の動機と目的

• 単一スケール（例：単位円板上のハーディー空間）におけるシュール乗数およびド・ブランジュ＝ロヴニャク空間の理論を、同型木を用いたマルチスケール設定に拡張すること。
• 再帰的核ヒルベルト空間における非可換的で木に基づく点評価およびコーシーの公式の一般化を導入すること。
• シュール乗数を共等長的実現化を介してマルチスケール入力-状態-出力システムの伝達演算子として実現すること。
• 木上の原始的シフト作用素間のCuntz関係式を用いて、非定常的かつ非可換なシステムの枠組みを構築すること。
• ブラシケ因子の構成と核表現を用いて、木上のシュール関数の関数的モデルを提供すること。

提案手法

• 同型木上の原始的シフト作用素間のCuntz関係式を用いて、非可換的かつ時変的な点評価を定義する。
• 非可換べき級数および核公式を用いて、コーシーの積分公式が成り立つ木上の再生核ヒルベルト空間を構成する。
• 演算子A, B, C, Dが特定の可換関係を満たす共等長的実現化を用いて、ド・ブランジュ＝ロヴニャク空間を定義する。
• 関数の零点集合をモデル化するために、$ \mathbf{H}_2(\mathcal{T})^q $ 上のユニタリ作用素としてのブラシケ因子$ B_c $ を導入し、$ B_c^\wedge(c) = 0 $ を満たす。
• 古典的公式の一般化として、核表現$ K_s(z,w) = C(I-zA)^{-1}(I-wA)^{-*}C^* $ を導出する。
• ブラシケ因子の構成を可能にするために、演算子$ R_c = \sum_{n=0}^\infty (c\alpha)^n(\alpha^*c^*)^n $ を用い、そのユニタリティを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なシュール乗数およびド・ブランジュ＝ロヴニャク空間の理論を、同型木上のマルチスケール設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 この木に基づく枠組みにおける、点評価およびコーシーの公式の適切な非可換アナログは何か？
• RQ3 非定常的かつ非可換な設定において、シュール乗数を入力-状態-出力システムの伝達関数として実現できるか？
• RQ4 ブラシケ因子は、木に基づくハーディー空間における関数の零点集合を補間するために果たす役割は何か？
• RQ5 木上の原始的シフト作用素間のCuntz関係式は、シュール関数の共等長的実現の構築にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿は、非可換べき級数および核表現を用いて、コーシーの公式が成り立つ同型木上の再生核ヒルベルト空間を構成する。
• シュール関数$ s $に付随するド・ブランジュ＝ロヴニャク空間が、$ \mathcal{B}_s = I - M_sM_s^* $ を用いて$ \sqrt{\mathcal{B}_s}\mathbf{H}_2 $と等長同型であることを確立する。
• シュール関数$ s(z) $は、演算子行列$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} $ が共等長であることを満たす形で、$ s(z) = D + zC(I-zA)^{-1}B $ として共等長的実現化が可能である。
• ブラシケ因子$ B_c $ はユニタリであり、$ B_c^\wedge(c) = 0 $ を満たし、$ c \in \mathbb{B}(\mathcal{T}) $ で消える関数の関数的モデルを提供する。
• $ F \in \mathbf{H}_2(\mathcal{T}) $ が$ F^\wedge(c) = 0 $ を満たすための必要十分条件は、ある$ G \in \mathbf{H}_2(\mathcal{T})^q $ が存在して$ F = B_c \cdot G $ かつ$ \|G\|_2 = \|F\|_2 $ を満たすことである。
• 演算子$ R_c = \sum_{n=0}^\infty (c\alpha)^n(\alpha^*c^*)^n $ は正定値であり、$ R_c = I + c(\alpha R_c \alpha^*)c^* $ を満たすため、ブラシケ因子の構成が可能となる。