[論文レビュー] Schur Multipliers and Spherical Functions on Homogeneous Trees

Uffe Haagerup, Troels Steenstrup+1 more|ArXiv.org|Aug 31, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、次数 $q+1$ の同次的木上の径数関数がシュール乗数であるための必要十分条件を、ハンケル行列のトレースクラス基準を用いて確立する。シュールノルムの明示的公式を導出し、それらの結果を用いて自由群 $\mathbb{F}_N$ および $p$-進群 ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 上の完全有界フーリエ乗数ノルムを計算し、有界性の正確なスペクトル的条件を明らかにする。

ABSTRACT

Let X be a homogeneous tree of degree q+1 (for q between 2 and infinity) and let f be a complex function on X times X for which f(x,y) only depend on the distance between x and y in X. Our main result gives a necessary and sufficient condition for such a function to be a Schur multiplier on X times X. Moreover, we find a closed expression for the Schur norm of f. As applications, we obtain a closed expression for the completely bounded Fourier multiplier norm of the radial functions on the free (non-abelian) group on N generators (for N between 2 and infinity) and of the spherical functions on the p-adic group PGL_2(Q_q) for every prime number q.

研究の動機と目的

• 同次的木上の径数関数がシュール乗数である条件を同定すること。
• そのような関数のシュールノルムの閉形式表現を導出すること。
• 得られた結果を用いて、自由群 $\mathbb{F}_N$ および $p$-進群 ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 上の完全有界フーリエ乗数ノルムを計算すること。

提案手法

• ヒルベルト空間への有界線形写像によるシュール乗数のグロテンディーク的特徴づけを用いる。
• 径数関数 $\dot{\varphi}$ から $h_{i,j} = \dot{\varphi}(i+j) - \dot{\varphi}(i+j+2)$ を用いてハンケル行列 $H$ を定義する。
• $\tilde{\varphi}$ がシュール乗数であるための必要十分条件として、$H$ がトレースクラスであること、かつシュールノルムが $c_\pm$ および $\|H\|_1$ または重み付き $\ell^1$-ノルムに依存することを確立する。
• ペラーのハンケル作用素のトレースクラス特徴づけを適用し、径数シュール乗数の積分表現を導出する。
• 商写像 $\rho$ を用いて、木 $X = G/K$ 上の球面関数と群 $G = {PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 上の球面関数を関連付ける。マウトナーのパrametrization を用いる。
• スペクトル的条件 $\mathrm{Re}(s)^2 + \big(\frac{q+1}{q-1}\big)^2\mathrm{Im}(s)^2 < 1$ を用いて、$M_0A$ ノルムの有界性を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $q+1$ の同次的木上の径数関数がシュール乗数であるための特徴は何か？
• RQ2 径数関数の値を用いて、そのシュールノルムの正確な式は何か？
• RQ3 自由群 $\mathbb{F}_N$ 上の球面関数は、対応する同次的木上のシュール乗数とどのように関係するか？
• RQ4 ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 上の径数関数の完全有界フーリエ乗数ノルムは何か？
• RQ5 ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 上の球面関数が完全有界フーリエ乗数であるためのスペクトル的条件は何か？

主な発見

• 次数 $q+1$ の同次的木上の径数関数 $\tilde{\varphi}$ がシュール乗数であるための必要十分条件は、$h_{i,j} = \dot{\varphi}(i+j) - \dot{\varphi}(i+j+2)$ を成分とするハンケル行列 $H$ がトレースクラスであることである。
• シュールノルム $\|\tilde{\varphi}\|_S$ は、$q = \infty$ の場合 $|c_+| + |c_-| + \|H\|_1$ で与えられ、$q < \infty$ の場合 $|c_+| + |c_-| + \big(1 - \frac{1}{q}\big)\|\big(I - \frac{\tau}{q}\big)^{-1}H\|_1$ で与えられる。ここで $c_\pm = \frac{1}{2}\big(\lim \dot{\varphi}(2n) \pm \lim \dot{\varphi}(2n+1)\big)$ である。
• 自由群 $\mathbb{F}_N$ ($2 \leq N \leq \infty$) 上の完全有界フーリエ乗数ノルムは、対応する同次的木上のシュールノルムと同じ式で与えられる。
• ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 上の球面関数に対して、$M_0A(G)$ ノルムは $\mathrm{Re}(s)^2 + \big(\frac{q+1}{q-1}\big)^2\mathrm{Im}(s)^2 < 1$ のとき $\frac{|1 - s^2|}{1 - \mathrm{Re}(s)^2 - \big(\frac{q+1}{q-1}\big)^2\mathrm{Im}(s)^2}$ であり、それ以外の場合は 1 である。
• ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 上の完全有界球面関数の $M_0A(G)$-ノルムには一様な有界性がない。スペクトル領域内ではノルムが任意に大きくなる可能性がある。