[論文レビュー] Schur-Weyl duality for the unitary groups of $II_1$-factors

N. I. Nessonov|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の分離的 ${\rm II}_1$-因子 $\mathcal{M}$ のユニタリ群 $U(\mathcal{M})$ に対して、非可換なシュール＝ワイエルシュトラス双対性の類似を確立する。$U(\mathcal{M})$ の $L^2(\mathcal{M},{\rm tr})^{\otimes p} \otimes L^2(\mathcal{M},{\rm tr})^{\otimes q}$ への合同作用が、$\lambda \vdash p$, $\mu \vdash q$ によってインデックス付けされた既約成分に分解されることを示し、ユニタリ同値性は ${\rm dim}\,\lambda \cdot { m dim}\,\mu$ の積によって決定される。表現の可換子は、$\mathcal{M}^{\otimes p} \otimes \mathcal{M}'^{\otimes q}$ 上の対称群作用の固定点代数として示され、これは有限因子をなす。

ABSTRACT

We obtain the analogue of Schur-Weyl duality for the unitary group of an arbitrary ${ m II}_1$-factor

研究の動機と目的

• ${\rm II}_1$-因子のユニタリ群の設定にシュール＝ワイエルシュトラス双対性を拡張し、古典的な $GL(n)$ と $S_p$ 間の双対性を無限次元的因子へ一般化すること。
• $L^2(\mathcal{M},{\rm tr})$-空間のテンソル積上での合同ユニタリ表現 $\mathfrak{L}^{\otimes p} \otimes \mathfrak{R}^{\otimes q}(U(\mathcal{M}))$ の可換子を特徴付けること。
• 対称群の表現論的不変量を用いて、表現の既約成分がいつユニタリ同値となるかを特定すること。

提案手法

• 左乗法と右乗法による $U(\mathcal{M})$ の $L^2(\mathcal{M},{\rm tr})^{\otimes p}$ 上の左正則表現 $\mathfrak{L}^{\otimes p}(u)$ と右正則表現 $\mathfrak{R}^{\otimes p}(u)$ を定義する。
• 対称群作用 $\mathcal{P}_p(s)$ をテンソル積空間に導入し、$s \in \mathfrak{S}_p$ を用いてテンソル因子を置換する。
• 各分割 $\lambda \vdash p$ に付随する既約部分表現へ射影する演算子 $P_p^\lambda = \frac{{\rm dim}\,\lambda}{p!} \sum_{s \in \mathfrak{S}_p} \chi^\lambda(s) \mathcal{P}_p(s)$ を構成する。
• 群作用と双可換子定理を用いて、表現の可換子が $\left(\mathcal{M}^{\otimes p}\right)^{\mathfrak{S}_p} \otimes \left(\mathcal{M}'^{\otimes q}\right)^{\mathfrak{S}_q}$ である固定点代数として得られることを示す。
• $G = \mathfrak{S}_p \times \mathfrak{S}_q$ の作用下での同型写像 $R_P: {}^\theta\!\mathcal{F}' \to \left(\mathcal{F}^G\right)'$ を適用し、可換子と固定点代数との関係を確立し、因子構造を示す。
• 可換子上のトレース $\tau'$ を用いて射影を比較し、$P_p^\lambda \otimes P_q^\mu$ のトレース等価性からユニタリ同値性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合同ユニタリ表現 $\mathfrak{L}^{\otimes p} \otimes \mathfrak{R}^{\otimes q}(U(\mathcal{M}))$ の可換子は $L^2(\mathcal{M},{\rm tr})^{\otimes p} \otimes L^2(\mathcal{M},{\rm tr})^{\otimes q}$ 上でどのように特定されるか？
• RQ2 この表現の既約成分は、ユニタリ同値性の意味でどのように分類されるか？
• RQ3 対称群作用は、テンソル積空間を同型成分へ分解する際に果たす役割は何か？
• RQ4 どのような条件下で、2つの既約成分がユニタリ同値となるか？
• RQ5 可換子上のトレースは、対称群の表現論的データをどのように反映しているか？

主な発見

• 表現 $\mathfrak{L}^{\otimes p} \otimes \mathfrak{R}^{\otimes q}(U(\mathcal{M}))$ の可換子は、フォン・ノイマン代数 $\left(\mathcal{M}^{\otimes p}\right)^{\mathfrak{S}_p} \otimes \left(\mathcal{M}'^{\otimes q}\right)^{\mathfrak{S}_q}$ であり、これは有限因子である。
• 部分空間 $P_p^\lambda \otimes P_q^\mu$ に制限された表現 $\Pi_{\lambda\mu}$ は、全表現 $\mathfrak{L}^{\otimes p} \otimes \mathfrak{R}^{\otimes q}$ と準同値である。
• 2つの既約成分 $\Pi_{\lambda\mu}$ と $\Pi_{\gamma\delta}$ がユニタリ同値であるための必要十分条件は、${\rm dim}\,\lambda \cdot {\rm dim}\,\mu = {\rm dim}\,\gamma \cdot {\rm dim}\,\delta$ であること、これは可換子上のトレースによって決定される。
• 可換子内での射影 $P_p^\lambda \otimes P_q^\mu$ のトレースは $\tau'(P_p^\lambda \otimes P_q^\mu) = \frac{{\rm dim}\,\lambda \cdot {\rm dim}\,\mu}{p!\,q!}$ であり、これはユニタリ同値類を一意に特定する。
• $R_P: {}^\theta\!\mathcal{F}' \to \left(\mathcal{F}^G\right)'$ の同型写像により、可換子と固定点代数との間の対応関係が確立され、可換子が因子としての構造を有することを確認する。
• 対称群の表現論、特に中心射影 $P_p^\lambda$ を用いることで、$U(\mathcal{M})$ の作用下でのテンソル積空間の完全な既約成分への分解が可能となる。