[論文レビュー] Schwartz families in tempered distribution spaces

David Carfì|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2011

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド空間によってインデックス付けられた一般化された行列であるシュワルツ族——Tempered分布空間における無限次元作用素の厳密な枠組み——を導入する。シュワルツ族の空間とシュワルツ試験関数空間上の連続線形作用素の空間との間の標準的同型を確立し、量子力学的無限行列の数学的に整合性のあるモデルを提供する。

ABSTRACT

In this paper we define Schwartz families in tempered distribution spaces and prove many their properties. Schwartz families are the analogous of infinite dimensional matrices of separable Hilbert spaces, but for the Schwartz test function spaces, having elements (functions) realizable as vectors indexed by real Euclidean spaces (ordered families of scalars indexed by real Euclidean spaces). In the paper, indeed, one of the consequences of the principal result (the characterization of summability for Schwartz families) is that the space of linear continuous operators among Schwartz test function spaces is linearly isomorphic with the space of Schwartz families. It should be noticed that this theorem is possible because of the very good properties of Schwartz test function spaces and because of the particular structures of the Schwartz families viewed as generalized matrices; in fact, any family of tempered distribution, regarded as generalized matrix, has one index belonging to a Euclidean space and one belonging to a test function space, so that any Schwartz family is a matrix in the sense of distributions. Another motivation for the introduction and study of these families is that these are the families which are summable with respect to every tempered system of coefficients, in the sense of superpositions. The Schwartz families we present in this paper are one possible rigorous and simply manageable mathematical model for the infinite matrices used frequently in Quantum Mechanics.

研究の動機と目的

• 量子力学で用いられる無限行列をTempered分布論を用いて厳密に形式化すること。
• 特定の減衰性および滑らかさの性質を持つ、Tempered分布の族としてのシュワルツ族の定義と特徴付けを行うこと。
• シュワルツ族の空間とシュワルツ試験関数空間上の連続線形作用素の空間との間の標準的同型を確立すること。
• ユークリッド空間上にインデックス付けられた族を用いた分布の和分可能性および重ね合わせのための枠組みを提供すること。
• 分布的双対性および位相的ベクトル空間論を用いた、量子理論における作用素表現の構造的基盤を提供すること。

提案手法

• ユークリッド空間 $\mathbb{R}^m$ からTempered分布空間 $\mathcal{S}_n'$ への写像としてシュワルツ族を定義し、$\mathcal{S}(\mathbb{R}^m, \mathcal{S}_n')$ と表記する。
• 試験関数 $\phi \in \mathcal{S}_n$ に対する族 $v$ の作用を $v(\phi)(p) = v_p(\phi)$ で定義し、$\mathbb{R}^m$ 上のスカラー関数を得る。
• 任意のTempered係数系に関して、族が重ね合わせとして表現可能であることによって、シュワルツ族の和分可能性を特徴付ける。
• 写像 $v \mapsto \widehat{v}$ を標準的表現として定義し、$\widehat{v}(\phi)(p) = v_p(\phi)$ で与えられ、$\mathcal{L}(\mathcal{S}_n, \mathcal{S}_m)$ への連続線形作用素への写像を実現する。
• 写像 $v \mapsto \widehat{v}$ が $\mathcal{S}(\mathbb{R}^m, \mathcal{S}_n')$ と $\mathcal{L}(\mathcal{S}_n, \mathcal{S}_m)$ の間のベクトル空間同型であることを証明する。
• バナッハ＝スタインハウスの定理を用いて、作用素 $A$ の転置可能性が、すべての $p \in \mathbb{R}^m$ に対して $\delta_p \circ A \in \mathcal{S}_n'$ であることと同値であることを示し、すべての $a \in \mathcal{S}_m'$ に対して $a \circ A$ の連続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学における無限行列を分布論の枠組み内でどのように厳密に形式化できるか。
• RQ2 Tempered分布の族がシュワルツ空間上に連続線形作用素を定めるために必要な条件は何か。
• RQ3 シュワルツ族はどのような意味で和分可能または重ね合わせ可能であり、係数系はこのプロセスにおいて果たす役割は何か。
• RQ4 シュワルツ空間間の連続線形作用素の空間と、分布的族の空間との間の同型関係はどのように確立されるか。
• RQ5 シュワルツ空間間の線形作用素が位相的に転置可能であるための特徴づけは何か。

主な発見

• シュワルツ族の空間 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^m, \mathcal{S}_n')$ は、連続線形作用素の空間 $\mathcal{L}(\mathcal{S}_n, \mathcal{S}_m)$ と線形同型であり、写像 $v \mapsto \widehat{v}$ を通じて標準的表現が与えられる。
• 逆写像 $A \mapsto A^\vee = (\delta_p \circ A)_{p \in \mathbb{R}^m}$ により、作用素空間がシュワルツ族の空間として実現される。
• 線形作用素 $A: \mathcal{S}_n \to \mathcal{S}_m$ が位相的に転置可能であるための必要十分条件は、すべての $p \in \mathbb{R}^m$ に対して $\delta_p \circ A \in \mathcal{S}_n'$ であることである。
• シュワルツ族 $v$ が試験関数 $\phi$ に作用すると、関数 $v(\phi) \in \mathcal{F}(\mathbb{R}^m, \mathbb{K})$ が得られ、分布との行列型乗算が可能になる。
• 族 $v$ は任意のTempered係数系に関して和分可能であり、分布論における重ね合わせ原理に適している。
• 空間 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^m, \mathcal{S}_n')$ と $\mathcal{L}(\mathcal{S}_n, \mathcal{S}_m)$ の間の同型は、すべての線形的および位相的構造を保つ標準的表現 $v \mapsto \widehat{v}$ を通じて確立される。