[論文レビュー] Schwartz functions, tempered distributions, and Kernel Theorem on solvable Lie groups

Emilie David-Guillou|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、連結で単連結な可解リー群 $G$ 上の滑らかで急速減少する関数の一般化されたシュワーツ空間 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ を導入し、重み関数 $\sigma$ を通じて群の幾何構造を組み込む。この空間に対する分布論を確立し、非ユークリッド的拡張としてシュワーツ核定理を示し、$\mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1)$ から $\mathcal{S}_{\sigma_2}(G_2)$ の双対空間への連続線形写像が $G_1 \times G_2$ 上の一意な分布によって表されることを示し、古典的結果を可解リー群へ拡張する。

ABSTRACT

Let G be a solvable Lie group endowed with right Haar measure. We define and study a dense Frechet *-subalgebra S of L1(G), consisting of smooth functions rapidly-decreasing at infinity on G. When G is nilpotent, we recover the classical Schwartz algebra introduced by R. Howe and other authors. We develop a distribution theory for S, and we generalize the classical Kernel Theorem of L. Schwartz to our setting.

研究の動機と目的

• 連結で単連結な可解リー群 $G$ に対して、$L^1(G)$ の稠密なフレシェ $^\ast$-部分代数 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ を定義し、古典的シュワーツ空間を一般化すること。
• 空間 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ 上に分布論を構築し、その双対空間をゆっくり増加する関数およびその導関数によって特定することにより、緩和分布の空間と同定すること。
• 古典的シュワーツ核定理を可解リー群の設定に一般化し、連続線形写像の空間と積群上の分布の空間との間の位相的同型を確立すること。
• 特に指数的可解群やノルム群を含む特定のクラスの可解リー群について、$\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ の明示的記述を提供すること。
• 積群 $G_1 \times G_2$ 上の急速減少関数の空間が、個々の代数 $\mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1)$ と $\mathcal{S}_{\sigma_2}(G_2)$ の完全化された射影テンソル積に一致することを示すこと。

提案手法

• 群の幾何的成長、特に非ノルム可解群における指数的体積成長を記述する重み関数 $\sigma$ を $G$ 上に定義する。
• $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ を、すべての $k \in \mathbb{N}$ および多重指数 $\alpha$ に対して $\|\sigma^k X^\alpha \phi\|_{L^\infty(G)} < \infty$ を満たす $G$ 上の滑らかな関数 $\phi$ の空間として構成する。ここで $X^\alpha$ は左不変ベクトル場である。
• 重み $\sigma$ および微分から導かれる可算個のセミノルムの族を用いて、$\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ にフレシェ位相を導入する。
• $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ が $L^1(G)$ の稠密な $^\ast$-部分代数であり、$C_0^\infty(G)$ がその稠密な $^\ast$-部分空間であることを証明する。
• $\mathcal{S}_{\sigma}^\prime(G)$ を、ゆっくり増加する関数およびその導関数の有限線形結合からなる空間として特徴付ける。
• $\mathcal{S}_{\sigma}^\prime(G_1 \times G_2) \cong \mathcal{S}_{\sigma_1}^\prime(G_1) \widehat{\otimes} \mathcal{S}_{\sigma_2}^\prime(G_2)$ の同型を、射影テンソル積位相と空間の核型性を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数写像が急速減少関数の可積分性を保存しない非ノルム可解リー群において、ノルム可解群上の古典的シュワーツ空間 $\mathcal{S}(G)$ をどのように一般化できるか。
• RQ2 関数空間に組み込むべき可解リー群の幾何的構造は何か。これにより、関数およびその導関数の急速減少と可積分性の両立が保証される。
• RQ3 古典的シュワーツ核定理は可解リー群の設定に拡張可能か。その場合、どのような位相的および代数的条件が必要か。
• RQ4 積群 $G_1 \times G_2$ 上の急速減少関数の空間は、$G_1$ および $G_2$ 上の個々の関数空間のテンソル積とどのように関係するか。
• RQ5 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ の双対空間の正確な構造は何か。これは緩和分布の概念をどのように一般化するか。

主な発見

• $G$ が任意の連結で単連結な可解リー群であるとき、空間 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ は $L^1(G)$ の稠密なフレシェ $^\ast$-部分代数であり、$C_0^\infty(G)$ はその稠密な $^\ast$-部分代数である。
• $G$ がノルム群であるとき、$\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ は古典的シュワーツ空間 $\mathcal{S}(G)$ と一致し、その場合に標準理論が回復される。
• $\mathcal{S}_{\sigma}^\prime(G)$ の双対空間は、ゆっくり増加する関数およびその導関数の有限線形結合から厳密に構成され、緩和分布の概念が一般化される。
• 積群 $G_1 \times G_2$ に対して、空間 $\mathcal{S}_{\sigma}(G_1 \times G_2)$ は自然に完全化された射影テンソル積 $\mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1) \widehat{\otimes} \mathcal{S}_{\sigma_2}(G_2)$ に同型であり、核型性により射影位相と $\epsilon$-位相が一致する。
• 一般化された核定理が成り立つ：連続線形写像の空間と分布の空間との間に位相的同型 $L(\mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1), \mathcal{S}_{\sigma_2}^\prime(G_2)) \cong \mathcal{S}_{\sigma}^\prime(G_1 \times G_2)$ が存在し、各連続線形写像は一意な分布核によって表される。
• この同型は、$\phi \in \mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1)$、$\psi \in \mathcal{S}_{\sigma_2}(G_2)$、$\mathcal{K} \in L(\mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1), \mathcal{S}_{\sigma_2}^\prime}(G_2)$ に対して、$\langle K, \phi \otimes \psi \rangle = \langle \mathcal{K}\phi, \psi \rangle$ として明示的に与えられる。