[論文レビュー] Schwarz reflections and the Tricorn

Seung‐Yeop Lee, Mikhail Lyubich+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、シュワルツ反射写像のサークル・アンド・カーディオイド族における幾何的に有限な写像と、トリコーンのバジリカリムにおけるそれらの間の組合せ的双対性を確立し、各写像が幾何的に有限な反正則な二次多項式と、理想三角形群からの反射写像の唯一の共形マーティングとして生じることを示している。さらに、この族の連結性領域の位相的モデルが、トリコーンのバジリカリムのそれと自然に位相的に同相であることを示している。

ABSTRACT

We continue our exploration of the family $\mathcal{S}$ of Schwarz reflection maps with respect to the cardioid and a circle which was initiated in our earlier work. We prove that there is a natural combinatorial bijection between the geometrically finite maps of this family and those of the basilica limb of the Tricorn, which is the connectedness locus of quadratic anti-holomorphic polynomials. We also show that every geometrically finite map in $\mathcal{S}$ arises as a conformal mating of a unique geometrically finite quadratic anti-holomorphic polynomial and a reflection map arising from the ideal triangle group. We then follow up with a combinatorial mating description for the periodically repelling maps in $\mathcal{S}$. Finally, we show that the locally connected topological model of the connectedness locus of $\mathcal{S}$ is naturally homeomorphic to such a model of the basilica limb of the Tricorn.

研究の動機と目的

• シュワルツ反射写像のサークル・アンド・カーディオイド族における幾何的に有限な写像と、トリコーンのバジリカリムにおけるそれらとの間の自然な組合せ的対応を確立すること。
• この族に属するすべての幾何的に有限な写像が、唯一の幾何的に有限な反正則な二次多項式と、理想三角形群からの反射写像の共形マーティングとして実現可能であることを証明すること。
• サークル・アンド・カーディオイド族における周期的反発的写像のための組合せ的マーティング記述を提供すること。
• サークル・アンド・カーディオイド族の連結性領域の局所的に連結な位相的モデルが、トリコーンのバジリカリムのそれと自然に位相的に同相であることを示すこと。

提案手法

• 反射写像が、有限個の特異点を持つ領域の境界を越えてメロモーレックに拡張可能であるという四角化領域とシュワルツ反射写像の理論を用いる。
• 反正則多項式と反射群ダイナミクスを、単値正則な有理写像による半同型を介して組み合わせる共形マーティング技法を適用する。
• 組合せ的剛性とパラメータレイ分析を用いて、この族における幾何的に有限な写像を分類する。
• 準等角拡張技術と接点における漸近的線形性を用いて、特異点を越えて共形写像を拡張する。
• ウォルシュォフスキーの定理と境界漸近挙動を適用し、二重点付近での写像の準等角拡張可能性を保証する。
• ストレートニング写像を用いて連結性領域の位相的モデルを構成し、トリコーンのバジリカリムのモデルと同相であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュワルツ反射写像のサークル・アンド・カーディオイド族における幾何的に有限な写像と、トリコーンのバジリカリムにおけるそれらとの間に自然な組合せ的対応が存在するか？
• RQ2 サークル・アンド・カーディオイド族に属するすべての幾何的に有限な写像が、幾何的に有限な反正則な二次多項式と、理想三角形群からの反射写像の共形マーティングとして実現可能か？
• RQ3 サークル・アンド・カーディオイド族における周期的反発的写像の組合せ的構造は何か？
• RQ4 サークル・アンド・カーディオイド族の連結性領域の局所的に連結な位相的モデルは、トリコーンのバジリカリムのそれと同相か？

主な発見

• サークル・アンド・カーディオイド族における幾何的に有限な写像と、トリコーンのバジリカリムにおけるそれらとの間に自然な組合せ的双対性が存在する。
• サークル・アンド・カーディオイド族に属するすべての幾何的に有限な写像が、幾何的に有限な反正則な二次多項式と、理想三角形群からの反射写像の唯一の共形マーティングとして生じる。
• サークル・アンド・カーディオイド族における周期的反発的写像は、組合せ的マーティング記述を有する。
• サークル・アンド・カーディオイド族の連結性領域の局所的に連結な位相的モデルは、トリコーンのバジリカリムのそれと自然に位相的に同相である。
• 共形写像の接点における漸近的線形性が準等角拡張可能性を保証し、グローバルな準等角拡張の構成を可能にする。
• 曲線的ストリップにおける境界の傾きと積分収束条件が漸近的共形同値性を保証し、ストレートニングおよびマーティング構成を支援する。