[論文レビュー] Score Permutation Based Finite Sample Inference for Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) Models

Balázs Csanád Csáji|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、GARCHモデルにおける準最尤推定量（QMLE）の周囲に正確で分布に依存しない信頼領域を構築する、新しい有限標本推論手法ScoPeを提案する。この手法は、モーメントや定常性の仮定を必要とせず、スコア関数内の残差を並べ替えることで代替標本を生成し、正確な被覆確率を持つ信頼領域を生成する。漸近的手法やブートストラップ法に比べ、特に重い尾を持つまたは非対称なモーメントを持つ誤差項の下でも、精度と信頼性に優れる。

ABSTRACT

A standard model of (conditional) heteroscedasticity, i.e., the phenomenon that the variance of a process changes over time, is the Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) model, which is especially important for economics and finance. GARCH models are typically estimated by the Quasi-Maximum Likelihood (QML) method, which works under mild statistical assumptions. Here, we suggest a finite sample approach, called ScoPe, to construct distribution-free confidence regions around the QML estimate, which have exact coverage probabilities, despite no additional assumptions about moments are made. ScoPe is inspired by the recently developed Sign-Perturbed Sums (SPS) method, which however cannot be applied in the GARCH case. ScoPe works by perturbing the score function using randomly permuted residuals. This produces alternative samples which lead to exact confidence regions. Experiments on simulated and stock market data are also presented, and ScoPe is compared with the asymptotic theory and bootstrap approaches.

研究の動機と目的

• 重い尾や非対称な誤差項の下で、QMLEの有限標本推論における正確で分布に依存しない信頼領域の欠如を解消すること。
• 高次モーメントや定常性の仮定を必要とせず、正確な被覆確率を保証する手法の開発。
• 非ガウス分布や非対称なノイズの下でしばしば失敗する漸近的手法やブートストラップ法の代替として、計算的に実行可能な代替手法の提供。
• QMLEの周囲に理論的根拠を持つ信頼集合を提供することで、リスク管理やロバスト制御における信頼できる推論を可能にすること。
• 従来のSPS手法が適用できない非線形的かつ時変動する異分散性モデル（例：GARCH）に、並べ替えに基づく推論を拡張すること。

提案手法

• ScoPeは、QMLEの残差をスコア関数内で並べ替えることで、代替データ標本を生成し、信頼領域を構築する。
• 並べ替えられたスコア関数の順位を用いて「順位フィールド」を定義し、観測データと整合するパラメータ値を特定する。
• 信頼領域はこの順位フィールドの等高線として形成され、並べ替え理論により正確な被覆確率が保証される。
• このアプローチは分布に依存せず、非漸近的であり、真の誤差分布の知識を必要としない。
• スコア関数の構造と並べ替えの対称性を活用することで、各並べ替えに対してQMLEを再推定する必要を回避する。
• 非定常パラメータ領域（例：α+β≥1）を除外することで、非定常GARCH過程を引き起こす値を処理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重い尾や非対称な誤差項の下で、モーメントや分布に関する仮定を必要とせず、正確な被覆確率を保証する有限標本推論手法を開発できるか？
• RQ2 ScoPeは、重い尾や非対称な誤差項の下で、漸近的手法やブートストラップ法と比べて、実証的被覆確率と信頼領域の大きさにおいてどのように異なるか？
• RQ3 従来のSPS手法が適用できない非線形的かつ時変動するモデル（例：GARCH）に、並べ替えに基づく推論を適応可能か？
• RQ4 QMLEがバイアスを有する場合や、定常性の仮定が満たされない場合でも、ScoPeは正確な被覆確率を維持できるか？
• RQ5 実際の金融時系列（例：株価指数）におけるScoPeの実用的性能はいかがなものか？

主な発見

• シミュレーションデータにおいて、ガウスノイズ下で実証的被覆確率0.8961、ラプラスノイズ下で0.9147を達成し、名目の90%信頼水準に非常に近い。
• シミュレーション実験では、ScoPeがガウス分布下で相対的領域面積0.5324、ラプラス分布下で0.6727を達成した。これは、残差ブートストラップ（0.7051, 0.6139）やLRブートストラップ（0.6623, 0.7681）よりも顕著に小さい。
• 実際の株価指数（Nasdaq 100, S&P 500, FTSE 100）のデータでは、ScoPeが残差ブートストラップと同等の信頼領域サイズ（0.3801, 0.2862, 0.2412）を達成し、実用的応用性が強いことを示した。
• 「バーンイン」期間が定常性の仮定を満たさない場合でも、ScoPeは正確な被覆確率を維持しており、初期化効果に対して強い耐性を示した。
• ScoPeの信頼領域はしばしば非連結であったが、これは特に真のパラメータがQMLEとは異なる順位の谷にある場合に顕著に現れ、複雑な尤度関数の形状を反映していた。
• 非ガウス的誤差項の下では漸近理論が失敗するが、ScoPeは被覆確率の正確性と領域サイズの両面で、漸近的手法やブートストラップ法を上回った。