[論文レビュー] Scorza quartics of trigonal spin curves and their varieties of power sums

Hiromichi Takagi, Zucconi, Francesco|ArXiv.org|Jan 11, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、一般の三角曲線および非有効なtheta特性の組に対して、スコルツァ四次曲面に関連する冪和の多様体における新しい部分多様体を構成し、12次の素性をもつファノ3次曲面に関するムカイの研究を一般化する。主な貢献は、このような組に対してスコルツァ四次曲面の存在を証明し、ドォルガチェフとカネフの予想を裏付けること、およびデル・ペッツォ3次曲面の blown-up を通じて、三角的スピン曲線のモジュライ空間と冪和の多様体との間に双有理対応を確立することにある。

ABSTRACT

Our fundamental result is the construction of new subvarieties in the varieties of power sums for the Scorza quartic of any general pairs of trigonal curves and non-effective theta characteristics. This is a generalization of Mukai's description of smooth prime Fano threefolds of genus twelve as the varieties of power sums for plane quartics. Among other applications, we give an affirmative answer to the conjecture of Dolgachev and Kanev on the existence of the Scorza quartic for any general pairs of curves and non-effective theta characteristics.

研究の動機と目的

• 一般の三角的スピン曲線のスコルツァ四次曲面における冪和の多様体の新しい部分多様体を構成すること。
• 平面上の四次曲面に対する冪和の多様体として12次の素性をもつファノ3次曲面を記述するムカイの記述を一般化すること。
• 任意の一般な三角曲線の組と非有効なtheta特性の組に対してスコルツァ四次曲面の存在を証明し、ドォルガチェフとカネフの予想を確認すること。
• 5次デル・ペッツォ3次曲面の blown-up を通じて、三角的スピン曲線のモジュライ空間と冪和の多様体との間に双有理対応を確立すること。

提案手法

• 5次デル・ペッツォ3次曲面 $B$ を、次数 $d$ の滑らかな有理曲線 $C_d$ に沿って blown-up して、新しい3次曲面 $A$ を構成し、これに2ラジアルゲーム構造を備えること。
• $A$ の上でのマーク付き直線およびマーク付き二次曲線を、曲線 $\mathcal{H}_1$ および $\mathcal{H}_2$ を用いてパラメトライズし、これらが期待される次元をもち、かつ既約であることを示すこと。
• $A$ の反復 blown-up $\widetilde{A}$ から、冪和の多様体 $\mathrm{VSP}(F_4,n)$ への準同型を構成し、ここで $F_4$ はスコルツァ四次曲面である。
• theta対応および $\mathcal{H}_1$ と $\mathcal{H}_2$ 間の双対性を用いて、判別式の軌跡を定義し、スコルツァ四次曲面 $F_4$ が判別式上に消える唯一の四次曲面として特徴づけられることを示すこと。
• モノドロミー不変性およびヒルベルトスキーム上の既約性の議論を含む、双有理幾何の技法を用いて、$\mathrm{VSP}(F_4,n;\mathcal{H}_2)$ の主要成分が $C_d$ に沿った $B$ の blown-up と同型であることを示すこと。
• $\mathcal{M}_d$ のモジュライ空間から、三角曲線と偶数theta特性の組のモジュライ空間 $\widetilde{\mathcal{M}}'_{d-2}$ への有理写像 $\pi_{\mathcal{M}}$ を構成し、これが双有理であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドォルガチェフとカネフが予想したように、任意の一般な三角曲線の組と非有効なtheta特性の組に対してスコルツァ四次曲面が存在するか？
• RQ2 スコルツァ四次曲面の冪和の多様体は、5次デル・ペッツォ3次曲面の有理曲線（次数 $d$）に沿った blown-up として実現可能か？
• RQ3 三角的スピン曲線のモジュライ空間は、スコルツァ四次曲面の冪和の多様体と双有理か？
• RQ4 デル・ペッツォ3次曲面の blown-up 上の直線および二次曲線の観点から、スコルツァ四次曲面の冪和の多様体の幾何的構造はどのように特徴づけられるか？
• RQ5 $d \leq 6$ のとき、デル・ペッツォ3次曲面上の次数 $d$ の有理曲線のヒルベルトスキームは既約か？

主な発見

• スコルツァ四次曲面 $F_4$ の冪和の多様体 $\mathrm{VSP}(F_4,n;\mathcal{H}_2)$ の主要成分は、次数 $d$ の滑らかな有理曲線 $C_d$ に沿った5次デル・ペッツォ3次曲面 $B$ の blown-up と同型であり、その双セカント直線の厳密変換も含む。
• $\pi_{\mathcal{M}}: \mathcal{M}_d \dashrightarrow \widetilde{\mathcal{M}}'_{d-2}$ は双有理であり、その像は、偶数theta特性をもつ、 genus $d-2$ の三角曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}'_{d-2}$ を支配する。
• $d \leq 6$ のとき、$B$ 上の次数 $d$ の滑らかな有理曲線をパラメトライズするヒルベルトスキーム $\mathcal{H}_d^B$ は既約であり、これらの次数における成分の一意性が裏付けられる。
• 任意の一般な三角曲線の組と非有効なtheta特性の組に対してスコルツァ四次曲面の存在が確立され、ドォルガチェフとカネフの予想が裏付けられる。
• $\mathrm{VSP}(F_4,n;\mathcal{H}_2)$ の主要成分の正規化は、$C_d$ に沿った $B$ の blown-up と同型であり、この構成により、冪和の多様体が $A$ 上の直線および二次曲線の幾何から生じる幾何的対象として実現される。
• $\mathcal{M}_d$ のような曲線のモジュライ空間の次元は $2d-3$ であり、これは、genus $d-2$ の三角的スピン曲線のモジュライ空間の次元と一致し、$\pi_{\mathcal{M}}$ の双有理性を支持する。