[論文レビュー] Scrambling without chaos in RCFT

Pawe l Caputa, Tokiro Numasawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、有理的 conformal field theory (RCFT) における時系列的順序でない相関関数（OTOC）の遅延時間挙動について普遍的な公式を導出し、それがモジュラー S行列要素によって決定される定数に収束することを示している——特に、anyon のモノドロミー スカラーである。$SU(N)_k$ WZW モデルの中心電荷が大きい極限においては、純度が対数的に増加する（つまり、エンタングルメントのスクラッチングを示唆するが）、OTOC は非ゼロかつ定数のまま保たれ、これはホログラフィックに似た状況下でも、カオスとスクラッチングが本質的に異なることを示している。

ABSTRACT

In this paper we investigate measures of chaos and entanglement in rational conformal field theories in 1+1 dimensions. First, we derive a universal formula for the late time value of the out-of-time-ordered correlators for this class of theories. Our universal result can be expressed as a particular combination of the modular S-matrix elements known as the anyon monodromy scalar. Next, in the explicit setup of a $SU(N)_k$ Wess-Zumino-Witten model, we compare the late time behavior of the out-of-time-ordered correlators and the purity. Interestingly, in the large-c limit, the purity grows logarithmically as in holographic theories; in contrast, the out-of-time-ordered correlators remain, in general, non-vanishing.

研究の動機と目的

• 有理的 conformal field theory (RCFT) における時系列的順序でない相関関数（OTOC）の遅延時間値に対する普遍的な公式を導出すること。
• 可積分な 2D CFT における量子カオス（OTOC で測定）とエンタングルメントのスクラッチング（純度で測定）の関係を調査すること。
• $SU(N)_k$ ディーウィン・ツミノ＝ワッテンベルグ（WZW）モデルにおける OTOC と純度の挙動を、中心電荷が大きい極限で分析すること。これはホログラフィック CFT に類似している。
• エンタングルメントのスクラッチングが、RCFT においてホログラフィック双対性の文脈で量子カオスを意味するかどうかを明確にすること。
• 大中心電荷極限において OTOC が非ゼロのまま保たれることを示し、これは可積分性を示唆するが、純度の対数的増加とは対照的である。

提案手法

• 共形場理論の技法とモジュラー不変性を用いて RCFT における遅延時間 OTOC を導出し、結果を $ C^{eta}_{ij}(t) \to \frac{1}{d_i d_j} \frac{S^{*}_{ij}}{S_{00}} $ と表現する。ここで $ S_{ij} $ はモジュラー S 行列である。
• 得られた公式を、既知のモジュラー S 行列と量子次元を持つ、非自明な可積分 2D CFT である $SU(N)_k$ WZW モデルに適用する。
• 局所的演算子の励起後に第二の Rényi エントロピー（純度）を、4点関数と共形ブロック展開を用いて計算する。
• 't Hooft の極限 $ \lambda = N/k $ を固定し、4点関数の漸近展開を用いて大-$c$ 極限を分析する。
• フェルミオン的演算子を用いた強い結合近似により OTOC と純度を計算し、主要な対数的挙動を分離する。
• 遅延時間における OTOC（定数）と純度（対数的増加）を比較することで、エンタングルメントのスクラッチングと量子カオスの違いを明確にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的 conformal field theory (RCFT) における時系列的順序でない相関関数（OTOC）の普遍的な遅延時間値は何か？
• RQ2 RCFT における OTOC はモジュラー S 行列とどのように関係し、anyon のモノドロミーと関連して表現できるか？
• RQ3 $SU(N)_k$ WZW モデルの中心電荷が大きい極限において、純度はホログラフィック CFT と同様に対数的に増加するか？
• RQ4 大-$c$ 極限において、非ゼロの遅延時間 OTOC は量子カオスを示唆するのか、それとも可積分的・非カオス的系でも持続可能か？
• RQ5 OTOC と純度が、RCFT においてスクラッチングとカオスの異なる側面をどの程度測定しているのか？

主な発見

• 任意の RCFT における遅延時間 OTOC は、$ C^{eta}_{ij}(t) \to \frac{1}{d_i d_j} \frac{S^{*}_{ij}}{S_{00}} $ として普遍的に与えられ、これはモジュラー S 行列と量子次元に依存する。
• $SU(N)_k$ WZW モデルにおいて、OTOC は遅延時間において非ゼロの定数に収束し、中心電荷が大きくてもカオスの欠如を示している。
• 大-$c$ 極限において、第二の Rényi エントロピー（純度）は時間とともに対数的に増加し、$ \Delta S^{(2)}_A(t) \simeq 2h \log(2t/\epsilon) - \log(2) $ と近似される。これはホログラフィックなスクラッチングを模倣している。
• 純度の対数的増加は、4点関数における $ 1/\sqrt{c} $ の補正項が無視されたことに起因し、それらが存在すれば有限の量子次元が回復される。
• 強い結合極限において、OTOC は時間とともに 1 のまま保たれ、演算子の量子数に依存しない。これは、可積分性のプローブとしての堅牢性を確認する。
• 純度が対数的に増加する中で OTOC が非ゼロのまま保たれることから、エンタングルメントのスクラッチングが RCFT において量子カオスを意味するとは限らないことが示された。